Система дифф. уравнений

[SlayZar]

Требуется выписать решение задачи Коши с произвольными начальными данными $u(0) = \alpha$, $v(0) = \beta$ для системы дифф. уравнений. Выписать также матричную экспоненту $e^{xA}$, где $A$ — матрица указанной системы.

$$\begin{cases} u'=u-v\\ v'=-u+v\\ \end{cases} $$

Нашёл общее решение системы:
$\begin{cases} u(x)=c_1+c_2e^{2x}\\ v(x)=c_1-c_2e^{2x}\\ \end{cases}$
Тогда находим решение з. Коши, как:
$\begin{cases} u(0)=c_1+c_2=\alpha\\ v(0)=c_1-c_2=\beta\\ \end{cases}$
Получаем $c_1 = \frac{\alpha+\beta}{2}$, $c_2 = \frac{\alpha-\beta}{2}$
Теперь требуется вычислить матричную экспоненту:
$e^{xA}=E+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^k A^k}{k!}$
Подскажите, пожалуйста, как поступать дальше? Стоит как-то вычислять этот ряд или есть другой способ?

[cool.phenon]

Естественно, каждый такой ряд сходится к некоторой матрице, причём общее решение задачи Коши связано с матрицей следующим образом:

$$x(t)=C_1e_1^{At}+C_2e_2^{At}, $$

где $e^{At}_i$ -- $i$-й столбец матрицы. Короче говоря, дальше матрицу можно не искать, она уже почти выписана.

-- 01.12.2014, 01:41 --

Только обычно делают наоборот, сначала находят матрицу, а потом решают задачу Коши, очень повезло, что система 2 на 2 решается очень просто, в других случаях нужно использовать многочлен Лагранжа-Сильвестра.

[SlayZar]

cool.phenon в сообщении #938599 писал(а):

Естественно, каждый такой ряд сходится к некоторой матрице, причём общее решение задачи Коши связано с матрицей следующим образом:

$$x(t)=C_1e_1^{At}+C_2e_2^{At}, $$

где $e^{At}_i$ -- $i$-й столбец матрицы. Короче говоря, дальше матрицу можно не искать, она уже почти выписана.

-- 01.12.2014, 01:41 --

Только обычно делают наоборот, сначала находят матрицу, а потом решают задачу Коши, очень повезло, что система 2 на 2 решается очень просто, в других случаях нужно использовать многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Ясно, то есть в нашем случае получается матричной экспонентой будет просто матрица $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix}$$ ?

[cool.phenon]

Нет

[SlayZar]

cool.phenon
Да, про $e$ забыл...
Получается у нас $x(t)=C_1e^{0x}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}+C_2 e^{2x}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \Rightarrow x(t)=C_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}+C_2 \begin{pmatrix} e^{2x} \\ -e^{2x} \\ \end{pmatrix} $

И получается матричной экспонентой будет $\begin{pmatrix} 1 & e^{2x} \\ 1 & -e^{2x} \\ \end{pmatrix}$
Верно?

[cool.phenon]

Теперь все верно