Функция, дифференцируемая только в одной точке

[Anton_Peplov]

Построил пример функции, дифференцируемой только в одной точке. Проверьте, пожалуйста.

Рассмотрим функцию $ y = f(x)$, определенную на всей числовой прямой как

$$\begin{cases} $x^2$,&\text{если $x$ рациональное;}\\ $0$,&\text{иначе.}\\ \end{cases}$$

Очевидно, что эта функция непрерывна лишь в точке $x = 0$. Но она и дифференцируема лишь в этой точке, ибо $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ в точке $x = 0$ обращается просто в $\Delta y = f(\Delta x)$.
Таким образом, имеем, что в точке $x = 0$ при рациональных приращениях аргумента $\frac{\Delta y} {\Delta x} = \Delta x$, а при иррациональных $\frac{\Delta y} {\Delta x} = 0$. Откуда очевидно, что производная в точке $x = 0$ равна нулю, и это единственная точка, где она вообще существует.

Но тут всплывает вопрос, ради которого я все это и затеял:

Какие условия нужно наложить на функцию, чтобы непрерывность/дифференцируемость ее в точке означала непрерывность/дифференцируемость в некоторой окрестности этой точки?

Вот тут я и не знаю, что предположить. А Вы знаете?

[ИСН]

Непрерывность - свойство точечное, а Вы хотите его как-то распространить на окрестности. Дифференцируемость - то же самое, да ещё и другое, так что давайте сначала про непрерывность. Функция может быть непрерывна нигде, или в одной точке, или в половине точек, или на целом отрезке, или везде кроме одной точки, или тупо везде. Что и в каких терминах тут можно было бы ограничить?

[Anton_Peplov]

ИСН в сообщении #938783 писал(а):

Непрерывность - свойство точечное

Я в курсе. Приведенный пример это показывает.

ИСН в сообщении #938783 писал(а):

Что и в каких терминах тут можно было бы ограничить?

Рассмотрим некоторое множество $F$ функций, определенных на всей числовой прямой. Среди них существуют функции, всюду разрыные, как функция Дирихле, или непрерывные в какой-нибудь точке, но не непрерывные ни в одной ее окрестности, как в вышеприведенном примере. Назовем множество таких функций $S \subset F$. Существует также множество $F \setminus S$ тех функций, для которых непрерывность в точке влечет за собой непрерывность в некоторой ее окрестности.

Вопрос: известно ли какое-то требование к $f \in F$ такое, что оно выполняется если и только если $f \in F \setminus S$?

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #938798 писал(а):

ИСН в сообщении #938783 писал(а):

Непрерывность - свойство точечное

Я в курсе. Приведенный пример это показывает.

Приведенный пример показывает только Ваше знание, что непрерывность может быть точечным свойством. А оно не только может таким быть -- оно всегда такое.

А в общем случае: знать и понимать -- разные вещи.

[ИСН]

Короче, мне в голову не приходит никакое такое требование, которое притом не было бы наглухо искусственным.

[Otta]

Anton_Peplov в сообщении #938780 писал(а):

Какие условия нужно наложить на функцию, чтобы непрерывность/дифференцируемость ее в точке означала непрерывность/дифференцируемость в некоторой окрестности этой точки?

В норме так не поступают, а по-простому пишут: пусть функция непрерывна (дифференцируема) в окрестности точки. И все.

[Dan B-Yallay]

Anton_Peplov в сообщении #938780 писал(а):

Какие условия нужно наложить на функцию, чтобы непрерывность/дифференцируемость ее в точке означала непрерывность/дифференцируемость в некоторой окрестности этой точки?

Требуйте от властей, чтобы функция была непрерывна/дифференцируема на открытом множестве.