Построил пример функции, дифференцируемой только в одной точке. Проверьте, пожалуйста.
Рассмотрим функцию

, определенную на всей числовой прямой как

Очевидно, что эта функция непрерывна лишь в точке

. Но она и дифференцируема лишь в этой точке, ибо

в точке

обращается просто в

.
Таким образом, имеем, что в точке

при рациональных приращениях аргумента

, а при иррациональных

. Откуда очевидно, что производная в точке

равна нулю, и это единственная точка, где она вообще существует.
Но тут всплывает вопрос, ради которого я все это и затеял:
Какие условия нужно наложить на функцию, чтобы непрерывность/дифференцируемость ее в точке означала непрерывность/дифференцируемость в некоторой окрестности этой точки?Вот тут я и не знаю, что предположить. А Вы знаете?