корректность док-ва(касательные к эллипсу)

[pooh__]

Нужно показать, что при любом $\varphi$ прямая
$\frac{x\cos\varphi}{a} + \frac{y\sin\varphi}{b} = 1$
касается одного и того же эллипса. Ну и найти этот эллипс.

Я делаю афинное преобразование $x'=\frac{x}{a}; y'=\frac{y}{b}$
Получаю что концы нормалей к прямым лежат на единичной окружности $\Rightarrow$ прямые касательные к прообразу и только его.
Но вот строго объяснить это не могу.

И еще можно ли вывести это из того просто что на $\mathbb{P}_{2}$ квадрика однозначно определяется по 5 касательным(если они достаточно хорошо лежат).

[provincialka]

Кто такие "концы нормалей"? К чему? Откуда опущены?
Вообще-то у вас задача на огибающую семейства прямых. Это задачка по диф.ур -ам. Или догадаться, какой будет эллипс и проверить.
Собственно, после аффинного преобразования второй путь становится очевидным.

[pooh__]

Задача по геометрии.
Под концом нормали к прямой $l$ я подразумевал точку пересечения прямой проходящей через начало координат и перпендикулярной $l$ с $l$.
То что лежат на окружности легко проверяется.
Эллипс то понятно какой будет
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

[ewert]

pooh__ в сообщении #938348 писал(а):

Но вот строго объяснить это не могу.

Что именно не можете доказать?

То, что при линейном преобразовании касательные остаются касательными -- общий факт.

А то, что после Вашего преобразования они будут касаться единичной окружности, следует просто из того, что у каждой из них расстояние до начала координат равно единице (поскольку после этого преобразования уравнения прямых превращаются в нормальные).

[pooh__]

Как строго сказать, что кроме этой окружности ничего не будет?
Интуитивно все очевидно конечно, но нормально объяснить не могу.

[provincialka]

Что значит "больше ничего не будет"? Можно нарисовать кривую, которая касается части из заданных прямых. Например двух, или пяти. И что?

В задаче спрашивается только о существовании эллипса. А не о том, что эти прямые вообще больше ничего не касаются.

[pooh__]

Хм, ну я так понял что не должно быть второго эллипса для которого все эти прямые являются касательными.

[provincialka]

В условии задачи про это ничего не сказано. Но если будете проверять - боюсь, тут уж не обойтись без диф-уров.

[ewert]

pooh__ в сообщении #938362 писал(а):

Как строго сказать, что кроме этой окружности ничего не будет?

Ну хотя бы потому, что через каждую точку вне окружности проходят только две из этих прямых, и они пересекаются в этой точке под некоторым углом. Т.е. ни одна из этих точек не может быть точкой касания. А для внутренних точек всё совсем тривиально.

[pooh__]

ewert в сообщении #938368 писал(а):

pooh__ в сообщении #938362 писал(а):

Как строго сказать, что кроме этой окружности ничего не будет?

Ну хотя бы потому, что через каждую точку вне окружности проходят только две из этих прямых, и они пересекаются в этой точке под некоторым углом. Т.е. ни одна из этих точек не может быть точкой касания. А для внутренних точек всё совсем тривиально.

Всем спасибо, теперь понял!

[provincialka]

ewert, действительно, так можно. Я просто подумала, почему надо искать именно эллипс? Тогда уж можно произвольную кривую