2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 корректность док-ва(касательные к эллипсу)
Сообщение30.11.2014, 15:17 
Нужно показать, что при любом $\varphi$ прямая
$\frac{x\cos\varphi}{a} + \frac{y\sin\varphi}{b} = 1$
касается одного и того же эллипса. Ну и найти этот эллипс.

Я делаю афинное преобразование $x'=\frac{x}{a}; y'=\frac{y}{b}$
Получаю что концы нормалей к прямым лежат на единичной окружности $\Rightarrow$ прямые касательные к прообразу и только его.
Но вот строго объяснить это не могу.

И еще можно ли вывести это из того просто что на $\mathbb{P}_{2}$ квадрика однозначно определяется по 5 касательным(если они достаточно хорошо лежат).

 
 
 
 Re: корректность док-ва(касательные к эллипсу)
Сообщение30.11.2014, 15:27 
Аватара пользователя
Кто такие "концы нормалей"? К чему? Откуда опущены?
Вообще-то у вас задача на огибающую семейства прямых. Это задачка по диф.ур -ам. Или догадаться, какой будет эллипс и проверить.
Собственно, после аффинного преобразования второй путь становится очевидным.

 
 
 
 Re: корректность док-ва(касательные к эллипсу)
Сообщение30.11.2014, 15:31 
Задача по геометрии.
Под концом нормали к прямой $l$ я подразумевал точку пересечения прямой проходящей через начало координат и перпендикулярной $l$ с $l$.
То что лежат на окружности легко проверяется.
Эллипс то понятно какой будет
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

 
 
 
 Re: корректность док-ва(касательные к эллипсу)
Сообщение30.11.2014, 15:34 
pooh__ в сообщении #938348 писал(а):
Но вот строго объяснить это не могу.

Что именно не можете доказать?

То, что при линейном преобразовании касательные остаются касательными -- общий факт.

А то, что после Вашего преобразования они будут касаться единичной окружности, следует просто из того, что у каждой из них расстояние до начала координат равно единице (поскольку после этого преобразования уравнения прямых превращаются в нормальные).

 
 
 
 Re: корректность док-ва(касательные к эллипсу)
Сообщение30.11.2014, 15:35 
Как строго сказать, что кроме этой окружности ничего не будет?
Интуитивно все очевидно конечно, но нормально объяснить не могу.

 
 
 
 Re: корректность док-ва(касательные к эллипсу)
Сообщение30.11.2014, 15:38 
Аватара пользователя
Что значит "больше ничего не будет"? Можно нарисовать кривую, которая касается части из заданных прямых. Например двух, или пяти. И что?

В задаче спрашивается только о существовании эллипса. А не о том, что эти прямые вообще больше ничего не касаются.

 
 
 
 Re: корректность док-ва(касательные к эллипсу)
Сообщение30.11.2014, 15:40 
Хм, ну я так понял что не должно быть второго эллипса для которого все эти прямые являются касательными.

 
 
 
 Re: корректность док-ва(касательные к эллипсу)
Сообщение30.11.2014, 15:42 
Аватара пользователя
В условии задачи про это ничего не сказано. Но если будете проверять - боюсь, тут уж не обойтись без диф-уров.

 
 
 
 Re: корректность док-ва(касательные к эллипсу)
Сообщение30.11.2014, 15:43 
pooh__ в сообщении #938362 писал(а):
Как строго сказать, что кроме этой окружности ничего не будет?

Ну хотя бы потому, что через каждую точку вне окружности проходят только две из этих прямых, и они пересекаются в этой точке под некоторым углом. Т.е. ни одна из этих точек не может быть точкой касания. А для внутренних точек всё совсем тривиально.

 
 
 
 Re: корректность док-ва(касательные к эллипсу)
Сообщение30.11.2014, 15:46 
ewert в сообщении #938368 писал(а):
pooh__ в сообщении #938362 писал(а):
Как строго сказать, что кроме этой окружности ничего не будет?

Ну хотя бы потому, что через каждую точку вне окружности проходят только две из этих прямых, и они пересекаются в этой точке под некоторым углом. Т.е. ни одна из этих точек не может быть точкой касания. А для внутренних точек всё совсем тривиально.

Всем спасибо, теперь понял!

 
 
 
 Re: корректность док-ва(касательные к эллипсу)
Сообщение30.11.2014, 15:48 
Аватара пользователя
ewert, действительно, так можно. Я просто подумала, почему надо искать именно эллипс? Тогда уж можно произвольную кривую :mrgreen:

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group