исследовать на сходимость

[Ieroglif]

помогите совет через какие теоремы исследовать на сходимость такой ряд

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot\sin(\frac{2+(-1)^n}{n-\ln(n)})$


пробовал так ограничивать но как видите пределы разные получились и ничего сказать нельзя

$n\cdot\sin(\frac{1}{n-\ln(n)})\leqslant n\cdot\sin(\frac{2+(-1)\wedgen}{n-\ln(n)}) \leqslant n\cdot\sin(\frac{3}{n-\ln(n)})$

приделы по лопиталю брал

$\lim\limits_{n\to\infty}^{$n\cdot\sin(\frac{1}{n-\ln(n)})}=1$


$\lim\limits_{n\to\infty}^{$n\cdot\sin(\frac{3}{n-\ln(n)})}=3$

пробовал так но преподу не понравилось сказал нужно более узко рассматривать и на этом идеи кончились

$0\leqslant n\cdot\sin(\frac{2+(-1)\wedgen}{n-\ln(n)}) \leqslant n$
проблема решения затрудняюсь определить метод по какому исследовать расходимость данного ряда

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите свои попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[provincialka]

Насчет "более узко" - это он так сказал? А что вы с "пределами по Лопиталю" делали? Вывод-то какой?

[ewert]

Ieroglif в сообщении #937738 писал(а):

преподу не понравилось сказал нужно более узко рассматривать

Не знаю, как перевести на русский слова "более узко рассматривать", но у Вас просто формально неверная запись: получается, что предел равен и единице, и тройке.

[Ieroglif]

мы ограничивали слева $n\cdot\sin(\frac{1}{n-\ln(n)})$
а с права $n\cdot\sin(\frac{3}{n-\ln(n)})$
преподаватель посоветовал и если бы приделы сошлись то весь ряд вел бы себя одинаково но они получились разные
как я так и преподаватель не знаем что делать)))
P.s. по лопиталю просто приделы вычислили

[provincialka]

ewert в сообщении #938305 писал(а):

получается, что предел равен и единице, и тройке.

Да вроде правильно: пределы берутся от разных последовательностей.

Ieroglif в сообщении #938344 писал(а):

как я так и преподаватель не знаем что делать

Надеюсь, он просто делает вид.
В таких задачах нужно сначала догадаться до ответа. Потому что сходимость и расходимость доказывается по-разному.
Чему (примерно) равны члены вашего ряда? Где между 1 и 3. Что будет, если сложить бесконечное число таких слагаемых?

[ewert]

provincialka в сообщении #938351 писал(а):

Да вроде правильно: пределы берутся от разных последовательностей.

Да вроде не совсем правильно: нигде про разные не сказано. Математика же -- она, конечно, магия, но не совсем чёрная. Во всяком случае -- хотелось бы, чтоб не совсем.

[provincialka]

Ну как же не разные? Вот:

Ieroglif в сообщении #937738 писал(а):

$\lim\limits_{n\to\infty}{n\cdot\sin(\frac{1}{n-\ln(n)})}=1$
$\lim\limits_{n\to\infty}{n\cdot\sin(\frac{3}{n-\ln(n)})}=3$

Одна является оценкой снизу, другая - оценкой сверху. Не сказано, что это подпоследовательности исходной последовательности.
А впрочем, ТС уже давно пропал.