Классификация стационарных точек 2х2 систем ДУ

[Red_Herring]

Как это освещается в стандартных (США/Канаде) учебниках ДУ (2й курс):

рассмотрим нелинейную систему

$$\begin{aligned} &x'=f(x,y),\\ &y'=g(x,y) \end{aligned}\tag{1}$$

и пусть $(\bar{x},\bar{y})$ стацонарная точка (т.е. $f(\bar{x},\bar{y})=g(\bar{x},\bar{y})=0$. Рассмотрим линеаризацию
math]

$$\begin{aligned} &\xi'=f_x \xi + f_y\eta,\\ &\eta'=g_x\xi +g_y \eta \end{aligned}\tag{2}$$

где все частные производные вычисляются в $(\bar{x},\bar{y})$. Предположим, что матрица $\begin{pmatrix} f_x & f_y \\ g_x & g_y\end{pmatrix}$ имеет только ненулевые собственные значения. Тогда классификация стационарных точек линейной системы (2) переносится на нелинейную систему (1) за исключением двух случаев:

I. Собственные значения чисто мнимые. Тогда у линейной системы будет центр, а у нелинейной—то ли цент, то ли устойчивая или неустойчивая спиральная точка.

Здесь все чисто и имеется пример

$$\begin{aligned} &x'=-y +\alpha x(x^2+y^2),\\ &y'=x+ \alpha y(x^2+y^2) \end{aligned}\tag{1}$$

Правда, спираль коллапсирует к началу координат очень медленно (вблизи его), но все же коллапсирует.

II. Собственные значения равны. Тогда у линейной системы будет узел (стабильный или нестабильный)—собственный, если имеется два собственных вектора, или несобственный, если имеется только один, а у нелинейной системы м.б. и узел, и спиральная точка.

Вот это мне начало казаться подозрительным. Мне кажется (и я полагаю это легко доказать, но хочу проверить), что у нелинейной системы будет узел такого же типа, что и у линейной. А именно, если имелось два с.в. то будет собственный узел (любая траектория входит (на бесконечности) в узел со своим собственным направлением), а если один с.в. то будет несобственный узел (любая траектория входит (на бесконечности) в узел содним из двух направлений). При этом количество оборотов вокруг $0$ будет (в окрестности $0$) конечно.

Да, конечно, если мало возмутить коэффициенты линейной системы, то могут появиться и "другие" узлы, и спиральные точки—но это все-таки другой вопрос.

[Otta]

Red_Herring в сообщении #938251 писал(а):

Тогда у линейной системы будет узел (стабильный или нестабильный)—собственный, если имеется два собственных вектора, или несобственный, если имеется только один, а у нелинейной системы м.б. и узел, и спиральная точка.

Откуда при равных собственных значениях может возникнуть фокус?

[Red_Herring]

Otta в сообщении #938258 писал(а):

Откуда при равных собственных значениях может возникнуть фокус?

Вы это у авторов учебников спросите… Вот скриншот (и соответствующая страница) из вполне приличного и очень популярного
W. E. Boyce, R. C. DiPrima Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 10th
У меня как раз обратная точка зрения

[Otta]

Нет, я первый раз слышу. Можно ссылку на учебник или пример оттуда. Для политпросвету.

Upd Ага, спасибо.

[Red_Herring]

Похоже, однако, что в других "софоморских" учебниках этот вопрос совсем не рассматривается. Мне хочется убедиться в своей правоте прежде чем кричать "Bloody murder!"

[Otta]

Red_Herring в сообщении #938251 писал(а):

Вот это мне начало казаться подозрительным. Мне кажется (и я полагаю это легко доказать, но хочу проверить), что у нелинейной системы будет узел такого же типа, что и у линейной. А именно, если имелось два с.в. то будет собственный узел (любая траектория входит (на бесконечности) в узел со своим собственным направлением), а если один с.в. то будет несобственный узел (любая траектория входит (на бесконечности) в узел содним из двух направлений). При этом количество оборотов вокруг $0$ будет (в окрестности $0$) конечно.

Я могу одно сказать: что Ваши подозрения легко и непринужденно следуют из очень известных результатов теории нормальных форм в аналитическом случае точно. Более того, вырожденный узел линеаризуем. Поэтому если это был узел по линейной части, то он узлом и останется. Тем более сохранится тип устойчивости.

[Red_Herring]

Ну я думаю что все даже проще: просто рассмотреть поведение решений при $t\to \infty$ (соответствующего знака). Спасибо. Хотелось подстраховаться прежде чем кричать "Bloody murder".

[Otta]

Red_Herring в сообщении #938251 писал(а):

Как это освещается в стандартных (США/Канаде) учебниках ДУ (2й курс):

У нас 2-й курс учат, что классификация особой точки совпадает с ее классификацией по линейной части во всех случаях, кроме центра по линейной части. Где малое искажение векторного поля за счет нелинейного добавка способно привести к тому, что траектории перестанут быть замкнутыми, и тогда получится фокус. Во всех остальных ситуациях малое шевеление в.п. локально в окрестности особой точки к таким фатальным последствиям привести не в состоянии.

(Мне искренне интересно, как авторы мотивируют свою таблицу. Ну не с потолка же она.)

[Red_Herring]

Otta в сообщении #938294 писал(а):

Red_Herring в сообщении #938251 писал(а):

Как это освещается в стандартных (США/Канаде) учебниках ДУ (2й курс):

У нас 2-й курс учат, что классификация особой точки совпадает с ее классификацией по линейной части во всех случаях, кроме центра по линейной части. Где малое искажение векторного поля за счет нелинейного добавка способно привести к тому, что траектории перестанут быть замкнутыми, и тогда получится фокус. Во всех остальных ситуациях малое шевеление в.п. локально в окрестности особой точки к таким фатальным последствиям привести не в состоянии.

(Мне искренне интересно, как авторы мотивируют свою таблицу. Ну не с потолка же она.)

Никак. Это курс для не математиков. Думаю, что авторов смутило то,

Цитата:

Да, конечно, если мало возмутить коэффициенты линейной системы, то могут появиться и "другие" узлы, и спиральные точки

[Otta]

Red_Herring в сообщении #938303 писал(а):

Никак. Это курс для не математиков. Думаю, что авторов смутило то,

Цитата:

Да, конечно, если мало возмутить коэффициенты линейной системы, то могут появиться и "другие" узлы, и спиральные точки

Ну это да, могут, конечно. Может быть все, что угодно. Но тогда уже столбец таблицы назван неудачно. Не стоило писать Locally Linear System, так бы и писали Nonlinear System. (И тут бы возникло еще больше вопросов.))

[Munin]

А могут в результате малого возмущения появиться не точечные особенности, а скажем, в виде линии?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #938468 писал(а):

А могут в результате малого возмущения появиться не точечные особенности, а скажем, в виде линии?

Появиться—нет, исчезнуть—да.

[Otta]

Появиться тоже могут, только в двумерном случае это скучно, во-первых, а во-вторых, естественно, что все такие особенности вырожденные (с хотя бы одним нулевым собственным значением). Например,

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}&=&x+xy \\ \dot y &=& y+y^2 \\ \end{array} \right$$

с вновь обретенной кривой особых точек $y=-1$.

[Red_Herring]

Otta
Это возмущение—не малое (вне окрестности $y=0$) . И если мы линеаризируем эту систему, скаем, в $(0,-1)$ то получим систему в особенностями на линии.

[Otta]

Вне - нет, но локально в окрестности нуля - да.

Red_Herring в сообщении #938587 писал(а):

И если мы линеаризируем эту систему, скаем, в $(0,-1)$ то получим систему в особенностями на линии.

Дык мне показалось, этого Munin и хотел. Вот я и состряпала.

Тут надо уточнять вопрос, собственно.