2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Инверсия
Сообщение27.11.2014, 23:22 


28/02/11
32
Вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ с центром $I$ касается сторон $AB,BC,CA$ в точках $C_{1}, A_{1}, B_{1}$. Описанная окружность треугольника $AB_{1}C_{1}$ во второй раз пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $K$. Пусть $M$ - середина $BC$, $L$ - середина $B_{1}C_{1}$. Описанная окружность треугольника $KA_{1}M$ во второй раз пересекает $\omega$ в точке $T$. Доказать, что описанные окружности треугольников $KLT$ и $LIM$ касаются

 Профиль  
                  
 
 Re: Инверсия
Сообщение29.11.2014, 20:58 


28/02/11
32
Лемма 1. Пусть $X$ середина дуги $BAC$. Точки $K, X, M, T лежат на одной окружности.

-- Сб ноя 29, 2014 20:05:34 --

Изображение

-- Сб ноя 29, 2014 20:09:33 --

Лемма 2. Пусть $Y$ - середина дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точку $A$. Тогда точки $K, A_1, Y$ лежат на одной прямой.

-- Сб ноя 29, 2014 20:11:41 --

Изображение

-- Сб ноя 29, 2014 20:15:15 --

Лемма 3. Пусть $X$ - середина дуги $BAC$, а точка $P$ - точка вписанной окружности треугольника $ABC$, диаметрально противоположная точке $A_1$. Тогда точки $P,X,T$ лежат на одной прямой.

-- Сб ноя 29, 2014 20:16:43 --

Изображение

-- Сб ноя 29, 2014 20:20:13 --

Лемма 4. Пусть $X$ - середина дуги $ABC$, $U$ - середина дуги $AB$, $W$ - середина дуги $BC$. Тогда $BI$ перпендикулярно $UW$ и $IUXW$ - параллелограмм.

-- Сб ноя 29, 2014 20:21:35 --

Изображение

-- Сб ноя 29, 2014 20:24:23 --

Лемма 5. Пусть $X$ - середина дуги $BAC$, а $L$ - середина $B_1C_1$. Тогда углы $LTX$ и $IML$ равны.

-- Сб ноя 29, 2014 20:25:52 --

Изображение

-- Сб ноя 29, 2014 20:28:14 --

Лемма 6. Центр поворотной гомотетии при отображении отрезка $AB$ на $CD$ - это вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников $ABK$ и $CDK$.

-- Сб ноя 29, 2014 20:29:25 --

Изображение

-- Сб ноя 29, 2014 20:38:10 --

Из леммы 6 следует, что $K$ - центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок $B_1C_1$ в отрезок $BC$. Эта поворотная гомотетия переводит окружность $AB_1C_1$ в окружность $ABC$, поэтому $A$ переходит в $X$. $B_1L=LC_1$$BM=MC$ значит $L$-->$M$, значит равны углы $KLA$ и $KMX$. $TXKM$ - вписанный (лемма 1), равны углы $KMX$ и $KTX$, и углы $KLA$ и $KMX$, значит равны углы $KLA$ и $KTX$

-- Сб ноя 29, 2014 20:39:22 --

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Инверсия
Сообщение29.11.2014, 22:05 


28/02/11
32
Лемма 5 утверждает, что равны углы $LTX,IML$, по доказанному равны углы $KLA,KTX$. Значит, для углов выполняются равенства $IML=LTX+KTX-KLA$. $LTX+KTX-KLA=KTL-KTX+KTX-KLA=KTL-KLA=180-KLT-KLA-TKL=TLI-TKL$
После преобразований получаем следующее выражение для углов $TKL+IML=TLI$.
Из полученного равенства углов следует, что описанные окружности $KLT$ и $MIL$ касаются.

-- Сб ноя 29, 2014 21:07:32 --

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Инверсия
Сообщение30.11.2014, 12:47 


28/02/11
32
"Есть подозрение", что задача имеет и другое решение, которое использует свойства инверсии

 Профиль  
                  
 
 Re: Инверсия
Сообщение11.12.2014, 15:03 


11/12/14
2
Implausible.If I have to make it make you.How to do that?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group