Инверсия

[Roman Kotyk]

Вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ с центром $I$ касается сторон $AB,BC,CA$ в точках $C_{1}, A_{1}, B_{1}$. Описанная окружность треугольника $AB_{1}C_{1}$ во второй раз пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $K$. Пусть $M$ - середина $BC$, $L$ - середина $B_{1}C_{1}$. Описанная окружность треугольника $KA_{1}M$ во второй раз пересекает $\omega$ в точке $T$. Доказать, что описанные окружности треугольников $KLT$ и $LIM$ касаются

[Roman Kotyk]

Лемма 1. Пусть $X$ середина дуги $BAC$. Точки $K, X, M, T лежат на одной окружности.

-- Сб ноя 29, 2014 20:05:34 --



-- Сб ноя 29, 2014 20:09:33 --

Лемма 2. Пусть $Y$ - середина дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точку $A$. Тогда точки $K, A_1, Y$ лежат на одной прямой.

-- Сб ноя 29, 2014 20:11:41 --



-- Сб ноя 29, 2014 20:15:15 --

Лемма 3. Пусть $X$ - середина дуги $BAC$, а точка $P$ - точка вписанной окружности треугольника $ABC$, диаметрально противоположная точке $A_1$. Тогда точки $P,X,T$ лежат на одной прямой.

-- Сб ноя 29, 2014 20:16:43 --



-- Сб ноя 29, 2014 20:20:13 --

Лемма 4. Пусть $X$ - середина дуги $ABC$, $U$ - середина дуги $AB$, $W$ - середина дуги $BC$. Тогда $BI$ перпендикулярно $UW$ и $IUXW$ - параллелограмм.

-- Сб ноя 29, 2014 20:21:35 --



-- Сб ноя 29, 2014 20:24:23 --

Лемма 5. Пусть $X$ - середина дуги $BAC$, а $L$ - середина $B_1C_1$. Тогда углы $LTX$ и $IML$ равны.

-- Сб ноя 29, 2014 20:25:52 --



-- Сб ноя 29, 2014 20:28:14 --

Лемма 6. Центр поворотной гомотетии при отображении отрезка $AB$ на $CD$ - это вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников $ABK$ и $CDK$.

-- Сб ноя 29, 2014 20:29:25 --



-- Сб ноя 29, 2014 20:38:10 --

Из леммы 6 следует, что $K$ - центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок $B_1C_1$ в отрезок $BC$. Эта поворотная гомотетия переводит окружность $AB_1C_1$ в окружность $ABC$, поэтому $A$ переходит в $X$. $B_1L=LC_1$$BM=MC$ значит $L$-->$M$, значит равны углы $KLA$ и $KMX$. $TXKM$ - вписанный (лемма 1), равны углы $KMX$ и $KTX$, и углы $KLA$ и $KMX$, значит равны углы $KLA$ и $KTX$

-- Сб ноя 29, 2014 20:39:22 --

[Roman Kotyk]

Лемма 5 утверждает, что равны углы $LTX,IML$, по доказанному равны углы $KLA,KTX$. Значит, для углов выполняются равенства $IML=LTX+KTX-KLA$. $LTX+KTX-KLA=KTL-KTX+KTX-KLA=KTL-KLA=180-KLT-KLA-TKL=TLI-TKL$
После преобразований получаем следующее выражение для углов $TKL+IML=TLI$.
Из полученного равенства углов следует, что описанные окружности $KLT$ и $MIL$ касаются.

-- Сб ноя 29, 2014 21:07:32 --

[Roman Kotyk]

"Есть подозрение", что задача имеет и другое решение, которое использует свойства инверсии

[MiracleBeat]

Implausible.If I have to make it make you.How to do that?