По поводу неравенств могу кое-что добавить. Ещё в 1995 году я получил ряд обобщений.
Приведу некоторые из них.
1) Для любых неотрицательных чисел
справедливо неравенство
причём равенство достигается в двух случаях: а) все числа равны, b) одно число
равно нулю, а остальные числа равны.
2) Для любых неотрицательных чисел

и натуральных k,p таких, что

и

, справедливо неравенство

Причём равенство достигается в двух случаях, как в теореме 1.
3) Ступенчатые неравенства. Для неотрицательных чисел

через

(k - натуральное число, k

n) обозначим среднее арифметическое всех выраже-
ний
![$\sqrt[k] {a_{i_1}\cdot a_{i_2}\cdot .... \cdot a_{i_k}}$ $\sqrt[k] {a_{i_1}\cdot a_{i_2}\cdot .... \cdot a_{i_k}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/8/378eeb34276e25b13a9896f7c9d393cf82.png)
, где (

) - пробегает все сочетания по k элементов из
{1,2,...,n}. Заметим, что

- среднее арифметическое, а

- среднее геометрическое
данных чисел. Для каждого натурального m (3

) выполняется неравенство

. Равенство будет иметь место точно в тех случаях, что и в п.1.