Тригонометрия угла pi/n и симметричные однородные нерав-ва

[Феликс Шлейфер]

По поводу неравенств могу кое-что добавить. Ещё в 1995 году я получил ряд обобщений.
Приведу некоторые из них.
1) Для любых неотрицательных чисел $a_1, a_2, … , a_n (3\leqslant n)$
справедливо неравенство $(a^n_1+a^n_2+...+a^n_n)(n-1)+na_1a_2...a_n \geqslant$
$\geqslant (a^{n-1}_1+a^{n-1}_2+...+a^{n-1}_n)\cdot (a_1+a_2+...+a_n),$
причём равенство достигается в двух случаях: а) все числа равны, b) одно число
равно нулю, а остальные числа равны.
2) Для любых неотрицательных чисел $a_1, a_2, … , a_n$ и натуральных k,p таких, что
$k\leqslant n$ и $p=n^k-n(n-1)^{k-1}$, справедливо неравенство
$(n-1)^{k-1}\cdot (a^k_1+a^k_2+...+a^k_n)+p\cdot \sqrt[n]{a^k_1a^k_2.....a^k_n} \geqslant$
$\geqslant (a_1+a_2+....+a_n)^k.$ Причём равенство достигается в двух случаях, как в теореме 1.
3) Ступенчатые неравенства. Для неотрицательных чисел $a_1, a_2, … , a_n (3\leqslant n)$ через
$S_k$ (k - натуральное число, k$\leqslant$n) обозначим среднее арифметическое всех выраже-
ний $\sqrt[k] {a_{i_1}\cdot a_{i_2}\cdot .... \cdot a_{i_k}}$, где ($i_1,i_2, ..., i_k$) - пробегает все сочетания по k элементов из
{1,2,...,n}. Заметим, что $S_1$ - среднее арифметическое, а $S_n$ - среднее геометрическое
данных чисел. Для каждого натурального m (3$\leqslant m\leqslant n$) выполняется неравенство
$S_{m-2} + S_m\geqslant 2S_{m-1}$. Равенство будет иметь место точно в тех случаях, что и в п.1.

[Edward_Tur]

Господин Феликс Шлейфер!
Первое неравенство доказывается индукцией, а какова идея доказательства второго неравенства?

[Феликс Шлейфер]

Господин Edward Turkevici!

О доказательстве этих и некоторых других неравенств я написал статью, которая до
сих пор не опубликована. В ней применяется элементарный метод, названный мною
методом бесконечного приближения (это не индукция).

Кстати, Вам будет интересно знать, что следствием 1 из первого неравенства явля-
ется такое неравенство: для любых неотрицательных чисел $a_1, a_2, … , a_n (3\leqslant n)$
справедливо неравенство (n-2)$(a^k_1+a^k_2+...+a^k_n)+n\cdot\sqrt[n]{a^k_1a^k_2.....a^k_n} \geqslant$
$\geqslant a^{k-1}_1 a_2+a^{k-1}_2 a_1+a^{k-1}_1 a_3+...$ , где 2$\leqslant k\leqslant n$.

Если принять k=n, то получим вточности Ваше неравенство.