Многократное численное дифференцирование и интегрирование

[BasilKrzh]

Pphantom в сообщении #936415 писал(а):

Если желаемое - это получение исходной функции после многократного дифференцирования и интегрирования, то никак. В общем случае эта задача не решается.

Понятно, что для произвольной степени задача вряд ли решиться. Пусть я хочу получить исходную функцию после 4-х многократного дифференцирования и интегрирования, скажем, для достаточно широкого класса функций. Какие мои действия?

Pphantom в сообщении #936415 писал(а):

В общем, как обычно и бывает в таких ситуациях, нужно формулировать исходную задачу, а не странные промежуточные вопросы, возникающие при реализации неправильного решения

Я понимаю, но этот вопрос мне интересен и отдельно от исходной задачи. Где можно подробнее посмотреть про

Pphantom в сообщении #935877 писал(а):

дополнительная ошибка порядка $O(f\cdot \varepsilon/h)$

Pphantom в сообщении #936415 писал(а):

Вы пытаетесь вычистить полиномиальную составляющую из чего? Шума, периодического сигнала, еще чего-то? Подобные методы существуют, но надо бы знать, к чему их педполагается применять. Так что излагайте все полностью

Если так хотите. Есть некоторый сигнал, который представляет собой сумму набора различных по форме нерегулярно расположенных пиков и плавного (полиномиального?) фона. Я этот фон хочу, по-возможности, удалить. Я знаю для этого 2 способа, оба они работают не всегда корректно.

[mserg]

Итак, задача состоит в разложение исходного сигнала на полезный сигнал и фон (т.е. на две функции).

Можно составить вариационную задачу, аппроксимировать ее на сетке и решить.

Отличие фона от полезного сигнала - в плавности. Плавность можно охарактеризовать, скажем, второй производной.

Приходим к функционалу, который представляет собой сумму из трех слагаемых под интегралом на интервале измерения исходного сигнала:
1. Близость исходного сигнала сумме фона и полезного сигнала. Можно взять квадрат разности.
2. Плавность фона (точнее, функции, описывающей фон ) – можно взять квадрат второй производной функции фона. Взять эту разность с некоторым коэффициентом.
3. Плавность полезного сигнала – можно также взять квадрат второй производной, прибавить с меньшим коэффициентом, чем фон. В принципе, можно рассмотреть вариант с квадратом первой производной, суть требованием непрерывности.

Потом аппроксимировать функционал на сетке и решить задачу. Здесь можно посмотреть решение аналогичной проблемы (раздел нелинейное программирование):
http://np-soft.ru/downloads/npl20091228.zip

Работает на достаточно широком классе сигналов, если можно так выразиться.

[Pphantom]

BasilKrzh в сообщении #937779 писал(а):

Понятно, что для произвольной степени задача вряд ли решиться. Пусть я хочу получить исходную функцию после 4-х многократного дифференцирования и интегрирования, скажем, для достаточно широкого класса функций. Какие мои действия?

Давайте начнем с того, что в задачах вычислительной математики идеальных результатов не бывает (кроме отдельных тривиальных и поэтому неинтересных случаев). Бывают результаты, удовлетворяющие какому-то критерию близости к идеалу.

При этом критерии могут быть существенно разными: например, исходную функцию можно восстановить так, чтобы минимальной была чебышевская норма разности, а можно так, чтобы минимизировать интегральную. Это одна (но далеко не единственная причина), из-за которой нужны пояснения, что, собственно, Вы хотите получить и зачем, поскольку разным критериям будут соответствовать разные решения.

BasilKrzh в сообщении #937779 писал(а):

Где можно подробнее посмотреть

В общем-то в любом стандартном учебнике по вычислительной математике, но это и так совершенно тривиально.

Значение функции $f$ в некоторой точке $x$ известно с погрешностью: $\tilde f(x) = f(x) \cdot (1+\varepsilon)$ (вообще говоря, относительная погрешность представления для разных $x$ разная, так что правильнее было бы написать $\varepsilon(x)$, но для простоты можно считать, что мы берем некую среднюю оценку). Тогда очевидно, что разностная аппроксимация производной будет отличаться от идеального значения как раз на величину порядка $f(x) \cdot \varepsilon/h$, причем от "математической" точности разностной аппроксимации результат не зависит.

BasilKrzh в сообщении #937779 писал(а):

Есть некоторый сигнал, который представляет собой сумму набора различных по форме нерегулярно расположенных пиков и плавного (полиномиального?) фона. Я этот фон хочу, по-возможности, удалить.

Рецепт опять-таки зависит от критерия отнесения чего-либо к пику или к фону. Помимо того, что уже предложил mserg, можно использовать такой вариант: взять значения на некоторой сетке (с достаточно редкими узлами), построить по ним аппроксимационный сплайн (например, кубический), а затем вычесть его из данных.

[upgrade]

BasilKrzh в сообщении #937779 писал(а):

Есть некоторый сигнал, который представляет собой сумму набора различных по форме нерегулярно расположенных пиков и плавного (полиномиального?) фона. Я этот фон хочу, по-возможности, удалить.

скажите, а почему многократное дифференцирование и интегрирование может позволить это сделать, в чем идея?
я бы понял, если б вы взяли некоторый сигнал с заранее хорошо известными свойствами и начали с ним сравнивать свой.
или например заранее зная, что вам известен вид полезной информации, сравниваете результаты туда-обратно на разной "глубине" дифференцирования по разнице пытаясь найти влияние фона -
$y=e^x+x$ (предположим, что наш фон - это $e^x$ и именно его вы добавляете к своему полезному сигналу $x$)
на второй производной получаем $e^x$ и все остальные такие же - вроде как выделили фон.
вы предполагаете, что для фона все производные, начиная с какого-то порядка имеют примерно одно и то же поведение или что?

[Евгений Машеров]

Идея, насколько я понимаю, в том, что если у нас есть $y=f(x)+p_n(x)$, где f(x) есть некоторый полезный сигнал, который желаем выделить, а $p_n(x)$ есть полином степени n, являющийся помехой (причём f(x) в некотором смысле "не похожа" на полином, например, у неё существуют ненулевые производные высокого порядка), то если продифференцировать (n+1) раз, помеха обратится в ноль, а f(x) нет, и затем, интегрированием, f(x) восстанавливается. Такой приём был предложен где-то в конце XIX века в экономической статистике для поиска экономических циклов, предполагая, что они приблизительно выражаются синусоидами, а "тренд" - полиномом. Таким образом было найдено множество циклов разного периода с глубокомысленнейшими объяснениями, и только после открытия эффекта Слуцкого-Юла стало ясно, почему найденные циклы не описывают дальнейшее развитие экономики. Дифференциатор работал, как ВЧ-фильтр, а интегратор - как НЧ-фильтр, вместе составляя полосно-пропускающий, выделявший из сопровождавшего данные шума узкую полосу, выглядевшую, как периодические колебания, несмотря на отсутствие их в полезном сигнале.

[upgrade]

(Оффтоп)

Евгений Машеров
спасибо за разъяснения. помеху может и можно отделить, а вот шум (белый) врядли.