Привет, математики.
Нужно доказать, что всякое число в десятичной системе исчисления можно представить в двоичной.
Вообще вопрос странный мне кажется. На само число никак не влияет система исчисления в которой это число представлено. И поэтому очевидно что любое число представимо в любой системе исчисления, коль скоро это правда система исчисления. Может быть я не прав?
Но все же если доказываться такое высказывание, то верно ли будет такое рассуждение:
Возьмем какое либо число

, равное степени числа два.
Покажем, что любое число меньше

можно записать в виде суммы меньших степеней двойки.
Запишем число

в виде суммы

:

Теперь можно сказать, что все числа меньше

можно записать в виде суммы меньших степеней двойки, если все числа меньше

можно представить в виде суммы меньших степеней двойки (если это так, то мы можем представить все числа от

до

, само

, и все числа от

до

).
Следовательно теперь задача сводится к тому, чтобы доказать, что все числа меньше

можно представить в виде суммы меньших степени двойки.
Таким образом, продолжая разложение числа таким образом мы придем к случаю, когда нужно будет доказать, что все числа меньше

можно представить в виде суммы меньших степеней, а так как меньше только одно число -

то это доказано. Следовательно по "рекурсии" (это больше похоже на рекурсию, а не индукцию) верны и все предыдущие предположения, то есть любое число меньше

можно записать в виде суммы меньших степеней двойки. Таким образом любое число

можно представить в двоичной системе исчисления, так как всегда можно взять такое

, что

.
Вот собственно вопрос верно ли такое "средневековое" рассуждение? Можно ли его считать доказательством? Насколько оно строгое? Как это можно доказать более правильно?)
И еще, все таки следует ли с очевидностью из понятия системы исчисления то что здесь я пытаюсь доказывать?
Спасибо)