Верно ли доказательство?

[bayah]

Привет, математики.
Нужно доказать, что всякое число в десятичной системе исчисления можно представить в двоичной.
Вообще вопрос странный мне кажется. На само число никак не влияет система исчисления в которой это число представлено. И поэтому очевидно что любое число представимо в любой системе исчисления, коль скоро это правда система исчисления. Может быть я не прав?

Но все же если доказываться такое высказывание, то верно ли будет такое рассуждение:

Возьмем какое либо число $a$, равное степени числа два.
Покажем, что любое число меньше $a$ можно записать в виде суммы меньших степеней двойки.
Запишем число $a$ в виде суммы $a/2 + a/2$ :

$2^n = 2^{n-1} + 2^{n-1}$

Теперь можно сказать, что все числа меньше $2^n$ можно записать в виде суммы меньших степеней двойки, если все числа меньше $2^{n-1}$ можно представить в виде суммы меньших степеней двойки (если это так, то мы можем представить все числа от $0$ до $2^{n-1}$, само $2^{n-1}$, и все числа от $2^{n-1}$ до $2^{n}$).

Следовательно теперь задача сводится к тому, чтобы доказать, что все числа меньше $2^{n-1}$ можно представить в виде суммы меньших степени двойки.
Таким образом, продолжая разложение числа таким образом мы придем к случаю, когда нужно будет доказать, что все числа меньше $2^{1}$ можно представить в виде суммы меньших степеней, а так как меньше только одно число - $2^{0}$ то это доказано. Следовательно по "рекурсии" (это больше похоже на рекурсию, а не индукцию) верны и все предыдущие предположения, то есть любое число меньше $2^n$ можно записать в виде суммы меньших степеней двойки. Таким образом любое число $b$ можно представить в двоичной системе исчисления, так как всегда можно взять такое $n$, что $2^n > b$.

Вот собственно вопрос верно ли такое "средневековое" рассуждение? Можно ли его считать доказательством? Насколько оно строгое? Как это можно доказать более правильно?)
И еще, все таки следует ли с очевидностью из понятия системы исчисления то что здесь я пытаюсь доказывать?

Спасибо)

[Xaositect]

Ну это действительно очевидное утверждение, но раз уж его надо доказать, то надо доказать.

bayah в сообщении #937428 писал(а):

Следовательно по "рекурсии" (это больше похоже на рекурсию, а не индукцию)

Рекурсия используется не для доказательства, а для определения функций. А это как раз индукция.

bayah в сообщении #937428 писал(а):

так как всегда можно взять такое $n$, что $2^n > b$.

Почему?

bayah в сообщении #937428 писал(а):

Как это можно доказать более правильно?

Возьмите Ваше рассуждение и аккуратно распишите индукцию: база индукции, индуктивный переход, вывод.

[bayah]

Xaositect в сообщении #937437 писал(а):

bayah в сообщении #937428

писал(а):
Как это можно доказать более правильно? Возьмите Ваше рассуждение и аккуратно распишите индукцию: база индукции, индуктивный переход, вывод.

База индукции: все числа меньше $2^1$ можно представить в виде сумм меньших степеней двойки, так как единственное меньшее число это $2^0$, оно же и единственная меньшая степень.
Индуктивное предположение: все числа меньше $2^n$ можно представить в виде суммы меньших степеней двойки.
Теперь нужно совершить индуктивный переход: доказать что из индуктивного предположения следует, что все числа меньше $2^{n+1}$ так же можно представить в виде сумм меньших степеней двойки.
Индуктивный переход:

$2^{n+1} = 2^n + 2^n$

А так как по индуктивному предположению числа меньше $2^n$ представимы в виде суммы меньших степеней двойки то у нас есть все числа от $0$ до $2^{n}$, само $2^{n}$, и все числа от $2^{n}$ до $2^{n+1}$. Индуктивный переход осуществим. Следовательно всякое число можно меньше $2^n$ можно представить в виде суммы меньших степеней двойки.

Теперь,

Xaositect в сообщении #937437 писал(а):

bayah в сообщении #937428
писал(а):
так как всегда можно взять такое $n$, что $2^n > b$. Почему?

Ну, для всякого $2^n$ можно взять большее $2^{n+1}$, таким образом чисел вида $2^n$ бесконечное количество. А значит для любого конечного числа a, можно взять большее $2^n$.
Отсюда можно заключить, что и всякое вообще число можно представить в виде суммы меньших степеней двойки, то есть в двоичном виде.

Так?
В сущности перефразировал то что писал ранее)

[iifat]

В сущности да, но при этом опираетесь на аксиому индукции, так, кажется она называется. Или принцип индукции. А прежняя конструкция, при всей похожести, висела в воздухе. Таки да, под неё тоже можно было подвести фундамент, но проще перефразировать.

[Xaositect]

bayah в сообщении #937685 писал(а):

Ну, для всякого $2^n$ можно взять большее $2^{n+1}$, таким образом чисел вида $2^n$ бесконечное количество. А значит для любого конечного числа a, можно взять большее $2^n$.

Это, вообще говоря, некоторое нетривиальное утверждение о натуральном ряде - что любое бесконечное множество неограниченно. Для действительных чисел, например, это неверно.
По-хорошему, существование большой степени двойки надо бы тоже доказать, по индукции или через известные неравенства какие-нибудь.