Доказать, что если

- силовская подгрупа группы G, то для подгруппы

, которая содержит

, действительно следующее:

.
Решил разделить на два случая, когда

и когда

.
У меня получилось доказать для случая, если

. Там довольно простой случай: если

, тогда существует такой эелемент

, что сопряжением переводит подгруппу

в некоторую силовскую подгруппу

, которая в таком случае лежит в подгруппе

и

, в противном случае элемент

должен был бы лежать в нормализаторе подгруппы

. Но это означает, что

нормализует

, а значит

, пришли к противоречию, допустив, что существует элемент

. Значит справедливо

.
Второй же случай у меня не получилось доказать, засторопился на этом месте:
Рассмотрим произвольный элемент

. Он переводит подгруппу

в

,

.

действуя на

сопряжениями создает орбиту длиной

,

, где

максимальная степень

, которая делит порядок группы

. Это означает, что вместе с группой

в

лежит

силовских подгрупп(по теореме силова о количестве силовских подгрупп). Вот дальше никак не идет. Но есть подозрение, что всякая группа,

, которая будет содержать нормализатор может быть либо сама этим нормализатором

и тогда все сводится к первому случаю, либо будет равна

и тогда утверждение выполняется тривиально.