Задача, теоремы Силова

[Felt]

Доказать, что если $P$ - силовская подгрупа группы G, то для подгруппы $H$, которая содержит $N_G (P)$, действительно следующее: $N_G (H)=H$.
Решил разделить на два случая, когда $N_G (P)=H$ и когда $N_G (P) \subset H$.
У меня получилось доказать для случая, если $H=N_G (P)$. Там довольно простой случай: если $N_G (H) \neq H$, тогда существует такой эелемент $g \in N_G (H) \textbackslash H$, что сопряжением переводит подгруппу $P$ в некоторую силовскую подгруппу $Q$, которая в таком случае лежит в подгруппе $H$ и $Q \neq P$, в противном случае элемент $g$ должен был бы лежать в нормализаторе подгруппы $P$. Но это означает, что $Q$ нормализует $P$, а значит $Q=PQ=Q$, пришли к противоречию, допустив, что существует элемент $g \in N_G (H) \textbackslash H$. Значит справедливо $N_G (H)=H$.

Второй же случай у меня не получилось доказать, засторопился на этом месте:
Рассмотрим произвольный элемент $g \in H \textbackslash N_G (P)$. Он переводит подгруппу $P$ в $Q$, $P \neq Q$. $Q$ действуя на $P$ сопряжениями создает орбиту длиной $p^\alpha$, $\alpha \leq n-1$, где $n$ максимальная степень $p$, которая делит порядок группы $G$. Это означает, что вместе с группой $P$ в $H$ лежит $p^\alpha +1$ силовских подгрупп(по теореме силова о количестве силовских подгрупп). Вот дальше никак не идет. Но есть подозрение, что всякая группа, $H$, которая будет содержать нормализатор может быть либо сама этим нормализатором $P$ и тогда все сводится к первому случаю, либо будет равна $G$ и тогда утверждение выполняется тривиально.

[Felt]

Пардон, в месте, где пришли к противоречию, конечно, $Q=PQ=P$

[AV_77]

Пусть $H$- наша подгруппа. Тогда $H$ содержит $P = P_1$ и какие-то еще другие силовские подгруппы $P_2$, $\ldots$, $P_k$. Все они сопряжены в $H$, так как являются силовскими подгруппами в $H$. Если $x \in N(H)$, то $x$, действуя сопряжением, как-то переставляет эти подгруппы. Осталось немного.

[Felt]

всё ещё не доходит, мне нужна более подробная подсказка Я об этом уже думал, но не пришёл ни к чему

[AV_77]

Пусть $xPx^{-1} = P_2$. Тогда найдется такой $h \in H$, что $hPh^{-1} = P_2$. Что можно сказать про $h^{-1} x$?

[Felt]

Что $h^{-1} x$ лежит в $N_G (P)$

[AV_77]

Так. Осталось нужный вывод сделать.

[Felt]

То есть всякий элемент, который бы переводил P в одну из силовских подгрупп, лежащих целиком в $H$, обязательно лежит в $H$, потому что если $h^{-1} x$, то $x \in H$. Спасибо