Помогите подобрать функцию под требования

[Arastas]

Добрый день!

Ищу контрпример к одной гипотезе. Помогите, пожалуйста, подобрать такую функцию $f(x):\ \mathbb{R}_{\ge 0} \mapsto \mathbb{R}$, что
1) $f(x)$ непрерывная,
2) $f(x)$ неубывающая, $f^\prime(x)\ge 0$ $\forall x\ge 0$ ,
3) $f(x) \to \infty$ при $x \to \infty$,
но
4) $\lim_{x\to \infty}\left(f(e^x)-f(x)\right) < \infty$.

Или показать, что таких функций нет. Заранее спасибо за помощь!

[demolishka]

Примените теорему Лагранжа к выражению в последнем пределе.

[patzer2097]

Arastas, можете почитать про функцию $\log^*$

[Arastas]

demolishka писал(а):

Примените теорему Лагранжа к выражению в последнем пределе.

Это Вы про теорему о среднем значении? Пробовал, но конструктивного решения пока не нашел.

[ИСН]

Скорее всего, конструктивного в Вашем смысле решения нет. Конструктивное в обычном смысле - есть, и его уже привёл patzer2097.

[Arastas]

patzer2097 в сообщении #937586 писал(а):

Arastas, можете почитать про функцию $\log^*$

Спасибо, интересная функция.
Я правильно понимаю, что она принимает только целочисленные значения? Тогда она не непрерывна, так?

Не написал сразу, но мне нужно такое решение, где можно аналитически записать производную функции в явном виде.

[ИСН]

Ну, по ней легко построить непрерывную.
А ответом на второе пожелание является моё предыдущее сообщение.

[Arastas]

ИСН в сообщении #937615 писал(а):

Ну, по ней легко построить непрерывную.

Вы не могли бы, пожалуйста, пояснить, как именно достроить непрерывную? Тоже как рекурсивную, не в явной форме?

ИСН в сообщении #937615 писал(а):

А ответом на второе пожелание является моё предыдущее сообщение.

В том смысле, что такой функции, скорее всего, нет? А можно это как-то строго аргументировать? Я хочу чётче для себя в этом вопросе разобраться.

[ИСН]

Arastas в сообщении #937618 писал(а):

Вы не могли бы, пожалуйста, пояснить, как именно достроить непрерывную?

Ну взять точки и тупо соединить наклонными прямыми. Да, пожалуй, есть в этом что-то... неявное.

Arastas в сообщении #937618 писал(а):

В том смысле, что такой функции, скорее всего, нет?

Да может, что и есть, но...
Тут у нас как-то искали функцию, имитирующую поведение логарифма (обычного, не супер), но без использования логарифма как такового. Нашли! Вид такой, что лучше бы не находили.

[Arastas]

Arastas в сообщении #937618 писал(а):

Тут у нас как-то искали функцию, имитирующую поведение логарифма (обычного, не супер), но без использования логарифма как такового. Нашли! Вид такой, что лучше бы не находили.

В принципе, мне хватит какого-то способа утверждать, что существует какая-то кусочно-непрерывная функция, интеграл которой обладает желаемыми свойствами. Так что если соединить прямыми, то мне подойдет.

Спасибо!

[grizzly]

Arastas в сообщении #937618 писал(а):

В том смысле, что такой функции, скорее всего, нет?

Такие функции можно строить самому, но для этого нужно знать чуть больше стандартных мат.приёмов.

Определитесь, что Вам нужно. Я Вам немного помогу, но без предварительных самостоятельных попыток все эти идеи останутся непонятны.
1) Проще всего строить ступенчастую функцию, в которой ступеньки будут чем-то соединяться достаточно гладко.
2) Вам нужно разобраться, как соединять ступеньки между собой. Есть сложный [пока для вас] способ, который делает это бесконечно гладко, но здесь вполне сойдёт перенесённый в нужную точку и деформированный простым образом синус. Это всё Вам должно быть уже известно и доступно для использования.
3) По оси $OX$ нужно будет двигаться быстрее, чем экспонента. Вполне подойдёт скорость $n^n$.
4) По оси $OY$ нужно двигаться очень медленно, но бесконечно высоко. Для этого подойдут частичные суммы гармонического ряда.

С учётом сказанного идея функции будет такой:
$ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 3/2, & x\in [0;4+\pi/2];& \\ \sum\limits_{k=1}^{n}1/k, & x\in (n^n+\pi/2; (n+1)^{n+1}-\pi/2), & n\geq 2; \\ \text{деформированный синус},& x\in [n^n-\pi/2; n^n+\pi/2],& n>2; \end{array}\right. $

Получилось не так уж сложно. Если Вы почувствуете, что это одна из нужных Вам функций, которую легко продифференцировать в явном виде, тогда остальная работа за Вами:
Разобраться, как соединять ступеньки синусом;
Убедиться, что все нужные условия выполнены. Заодно исправить мои неточности, которые, скорее всего, найдутся, но, я надеюсь, не будут принципиальными (я не ставил целью проделать за Вас всю работу :)

[Arastas]

grizzly в сообщении #937880 писал(а):

Получилось не так уж сложно.

Спасибо!

[grizzly]

Но ошибка там есть, осторожно, нужно будет ещё немного смекалки. Самое главное понять идею, остальное -- техника.