Интеграл от супремума

[Dandeliona]

Задача такая: Все на [0,1], мера Лебега, все $f_n$ интегрируемы и неотрицательны. Известно, что для всех $n\ge 1$

$$\int_{[0,\frac{1}{n}]}f_n\,dm\ge \frac{1}{2}.$$

Нужно доказать, что

$$\int_{[0,1]}\sup_n f_n(x)\, m(dx)=\infty.$$

Подскажите, пожалуйста, с чего начать. Здесь как-то умно нужно применить лемму Фату?

[sup]

Рассмотрите случай, когда каждая $f_n(x)$ обращается в 0 в малой окрестности 0. (Для каждой функции своя окрестность, разумеется).

[ewert]

Не надо малой, достаточно указанной: $\int\limits_{[0,\frac1n]}\sup\limits_n f_n(x)\,dm\geqslant\int\limits_{[0,\frac1n]}f_n(x)\,dm\not\to0$. Странная задача.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #937438 писал(а):

Не надо малой, достаточно указанной: $\int\limits_{[0,\frac1n]}\sup\limits_n f_n(x)\,dm\geqslant\int\limits_{[0,\frac1n]}f_n(x)\,dm\not\to0$. Странная задача.

Странный ответ ( спрашивалось иное).

[ewert]

Что значит "иное". Спрашивалось, конечен ли интеграл от супремума. Ну так и заведомо это невозможно.

-- Пт ноя 28, 2014 17:45:23 --

А, ну да, я записал неверно. Эффект копипастения. Имелось в виду, конечно, $\int\limits_{[0,\frac1k]}\sup\limits_n f_n(x)\,dm\geqslant\int\limits_{[0,\frac1k]}f_k(x)\,dm\not\to0$.