Тройной интеграл и обЪем.

[MestnyBomzh]

Дано тело: $(x^2+y^2+z^4)^2=z^2$. Нужно найти обЪем этого тела. Здесь напрашивается переход к цилиндрической или сферической системе координат. Но ни то, ни другое к каким- либо результатам не привело. Подскажите с чего, хотя бы, начать.

[Otta]

К обобщенным сферическим попробуйте. Только пишите уже что-нибудь.

[provincialka]

А зачем и слева и справа квадраты? Может, убрать их? Ну, аккуратненько.

[MestnyBomzh]

Убираю квадраты: $x^2+y^2+z^4-z=0$. Найдем объем этой фигуры и умножим его на два. Теперь переход к обобщенной сферической системе. $a^2r \cos^2 \varphi \sin^2 \theta +r b^2 \sin^2 \theta \sin^2 \varphi+c^4r^3 \cos^4 \theta - c \cos \theta = 0 $

[provincialka]

Непременно нужен тройной интеграл? По-моему, прекрасно берется однократным. От площади горизонтальных сечений.

[MestnyBomzh]

Необязательно. Сейчас почитал в интернете про этот метод. Тогда нам нужно спроецировать тело на ось $OX$ и задать функцию $S(x)$ площади поперечного сечения для каждого икса?

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #937099 писал(а):

Теперь переход к обобщенной сферической системе.

Не, если уж к ней, то не к такой. Но попробуйте сперва без, всамделе. Чтобы что-то одно.

[MestnyBomzh]

так, ну спроецировать я спроецировал: $[-2^{\frac{-2}{3}}; 2^{\frac{-2}{3}}]$

-- 28.11.2014, 00:16 --

А вот как теперь определить функцию площади сечения? Там в сечении плохая фигура получается, кстати. Тоже интеграл понадобится?

[provincialka]

Господи, да зачем же на $Ox$? Что уж, у нас в пространстве и других осей нет? Дожили!

[MestnyBomzh]

А, ну да, проще на $OZ: [0;1]$

-- 28.11.2014, 00:38 --

А! а сечением будет окружность радиуса $\sqrt{a-a^4}$

-- 28.11.2014, 00:40 --

Тогда $\int_0^1 \pi(a-a^4) da = \frac{3\pi}{10} = 0.3 \pi$