Понижение порядка дифференциального уравнения

[Nurzery[Rhymes]]

Решаю такое уравнение: $xy''=y'+x^2$
Я думаю, что это уравнение однородное относительно $y', y''$. Делаю замену: $y=e^{\int\limits_{}^{}pdx}$
Отсюда выражаю производные:

$y' = pe^{\int\limits_{}^{}pdx}$

$y'' = p'e^{\int\limits_{}^{}pdx}+{p^2}e^{\int\limits_{}^{}pdx}=(p'+p^2)e^{\int\limits_{}^{}pdx}$

Подставляю эти выражения производных в исходное уравнение:

$x(p'+p^2)e^{\int\limits_{}^{}pdx}=pe^{\int\limits_{}^{}pdx}+x^2$

И я не знаю, как его дальше решать. На множитель $e^{\int\limits_{}^{}pdx}$ сократить нельзя из-за $x^2$ в правой части... Помогите понять, как решать уравнение дальше.

[ИСН]

Дёшево и сердито: в уравнении нет $y$, поэтому переобозначим $y'$ за новую функцию. Относительно неё это уже уравнение первого порядка. Вот и понизили. Обратите внимание, что для этого не понадобилось никаких экспонент и угрожающих жизни (а что, если бы он оттуда свалился - об этом Вы подумали?) интегралов.

[Nurzery[Rhymes]]

Блин, действительно, там же нет $y$. Не освоился еще с этими методами. А мой способ никак нельзя расковырять дальше?
Как мы бы решали уравнение, если бы оно имело такой вид $xy''=yy'+x^2$?

[ИСН]

Никак бы не решали. Не отвлекайтесь.

[ewert]

Понижение -- это хорошо и, вероятно, так и загадывалось. Однако ещё приятнее для глаза бросающееся в глаза $\left(\frac{y'}{x}\right)'=1$.

[Nurzery[Rhymes]]

Не могу довести до конца такое уравнение, подскажите, где я ошибся и можно ли было выбрать более удобный способ решения.

$xy''=y'\ln \frac{y'}{x}$
Это уравнение не содержит $y$ в явном виде, поэтому делаем замену $y'=p, y''=p'$

$xp'=p\ln \frac{p}{x}$, $xp'-p\ln \frac{p}{x}=0$
Это однородное уравнение, делаем замену $\frac{p}{x}=t,p=tx,p'=t'x+t$

$x(t'x+t)-tx \ln t = 0$
$x^2 t'+tx(1-\ln t)=0$
Делим на $x\ne 0$

$x\frac{dt}{dx}=-t(1-\ln t)$

$\frac{dt}{t(1-\ln t)}=-\frac{x}{dx}$

Интегрируем:

$\int\limits_{}^{}\frac{dt}{t(1-\ln t)}=-\int\limits_{}^{}\frac{d(1-\ln t)}{1-\ln t}=-\ln(1-\ln t) + C$

$1-\ln t = Cx$

Возвращаясь к старой переменной, находим: $1-\ln \frac{p}{x}=Cx$
$\ln\frac{p}{x}=1-Cx$

$\frac{p}{x}=e^{1-Cx}$

$p=xe^{1-Cx}$

Так как $p=y'$, интегрируем последнее выражение (по частям)

$u=x; du=dx$

$dv=e^{1-Cx}; v=\int\limits_{}^{}e\cdot e^{-Cx}dx=e\int\limits_{}^{}e^{-Cx}=-\frac{e}{C}\int\limits_{}^{}e^{-Cx}d(-Cx)=$

$=-\frac{e}{C}e^{-Cx}+C_1$

Если мы будем дальше интегрировать по частям, то получим выражение с тремя константами, а уравнение всего лишь второго порядка...

[ИСН]

Ну а зачем Вы в шторм залезли в лодку без вёсел и отвязались от причала? Зачем написали таких слов "по частям" и всё, что после них? У Вас перед этим уже было готово почти всё. Была известна $y'$. Как же нам найти функцию, если есть её производная? Чёрт...

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #936854 писал(а):

Как же нам найти функцию, если есть её производная? Чёрт...

И как же, если не интегрированием по частям $y'=xe^{1-Cx}$?
Система компьютерной алгебры дает ответ $\frac{1}{2}{x^2}e^{1-Cx}$, но я не понимаю, каким образом он получен.

[ИСН]

Цитата:

И встал царь, и разодрал одежды свои, и повергся на землю, и все слуги его, предстоящие ему, разодрали одежды свои.

-- менее минуты назад --

Что такое обычный неопределённый интеграл? (Не "по частям", а просто.)

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #936892 писал(а):

Цитата:

И встал царь, и разодрал одежды свои, и повергся на землю, и все слуги его, предстоящие ему, разодрали одежды свои.

-- менее минуты назад --

Что такое обычный неопределённый интеграл? (Не "по частям", а просто.)

Семейство первообразных. Как мне это знание поможет определить удобный метод интегрирования?

[ИСН]

Если взять неопределённый интеграл от производной функции, то что получится?

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #936926 писал(а):

Если взять неопределённый интеграл от производной функции, то что получится?

Исходная функция + константа. Дальше что?

[ИСН]

Ну вот это и сделайте со своей $y'$!

-- менее минуты назад --

Видите же, что при этом добавится одна константа, а не две?

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #936930 писал(а):

Ну вот это и сделайте со своей $y'$!

-- менее минуты назад --

Видите же, что при этом добавится одна константа, а не две?

Каким образом искать первообразную, если не интегрированием по частям? Когда я интегрировал по частям, пришлось брать два интеграла, соответственно там было две константы.

[Otta]

(Оффтоп)

Nurzery[Rhymes] в сообщении #936935 писал(а):

Когда я интегрировал по частям, пришлось брать два интеграла, соответственно там было две константы.

Щас я так проинтегрирую, будет сколько хошь:
$\int 7\,dx=\int 1 dx+\int 1dx+\ldots\int 1dx=x+c_1+x+c_2+\ldots +x+c_7$.
И?
Какие будут выводы?