Геометрия на конусе

[Sicker]

Конус разворачивается в часть плоскости, поэтому геометрия на его поверхности евклидова(в областях, не охватывающих вершину), но вершина-точка неустранимой сингулярности! Получается если мы параллельно перенесем вектор вдоль замкнутого контура, охватывающий точку сингулярности, то мы не получим исходный вектор, а он будет повернут)
И у меня получилось, что у треугольника, содержащего точку сингулярности, сумму углов равна не $\pi$, а есть дефект(причем для треугольника, не содержащего точку сингулярности такого дефекта нет). Два перпендикуляра к одной прямой пересекаются, если они обходят точку сингулярности по разные стороны)
Интересная штука) Только я почему то не нашел нигде про нее упоминание
В принципе мы можем сделать сколько угодно точек сингулярностей и в $n$-мерном пространстве, да?

[ИСН]

Наверное.
Нет нужды лезть в перпендикуляры, кстати. На конусе довольно многие прямые пересекаются сами с собой.

[olenellus]

Обобщением этого всего, насколько я заню, являются так называемые стратифицированные многообразия и геометрия на них.

[Sicker]

Смотря какой конус Для этого его развертка должна быть меньше полуплоскости?
И может ли прямая пересекаться сама с собой несколько раз?

[Утундрий]

Sicker в сообщении #936055 писал(а):

вершина-точка неустранимой сингулярности!

Точнее - место сосредоточения кривизны.

[Munin]

Sicker в сообщении #936055 писал(а):

В принципе мы можем сделать сколько угодно точек сингулярностей и в $n$-мерном пространстве, да?

Не точек. Скажем, в 3-мерном пространстве аналогичная штука будет линией.

olenellus в сообщении #936072 писал(а):

Обобщением этого всего, насколько я заню, являются так называемые стратифицированные многообразия и геометрия на них.

Ссылочки где почитать дадите?

[provincialka]

ИСН в сообщении #936066 писал(а):

На конусе довольно многие прямые пересекаются сами с собой.

Что-то не могу представить такую прямую Как она выглядит на развертке?

[ИСН]

же.

[provincialka]

ИСН, спасибо. Что-то меня слегка заклинило.

[Sicker]

тут пересечение два раза?

-- 27.11.2014, 14:36 --

Munin в сообщении #936245 писал(а):

Не точек. Скажем, в 3-мерном пространстве аналогичная штука будет линией.

ну да, а точкой быть не может?
Просто тут штука в том, что деффект параллельного переноса по замкнутому контуру пропорционален интегралу кривизны по поверхности контура, те кривизна может быть дельтообразной функцией в точке, что все равно даст интегральный вклад. в двухмерии кривизна скаляр, и определяется тоже при помощи контура, в высших размерностях? Это наверное видно из тензора кривизны Римана(в котором я не разбираюсь)

[Munin]

Sicker в сообщении #936833 писал(а):

тут пересечение два раза? :roll:

Вопрос. Сколько раз линия пересечёт сама себя? Параметры конуса и линии даны.

Sicker в сообщении #936833 писал(а):

ну да, а точкой быть не может?

Вы про секционную кривизну слышали?

Sicker в сообщении #936833 писал(а):

Просто тут штука в том, что деффект параллельного переноса по замкнутому контуру пропорционален интегралу кривизны по поверхности контура, те кривизна может быть дельтообразной функцией в точке, что все равно даст интегральный вклад. в двухмерии кривизна скаляр, и определяется тоже при помощи контура, в высших размерностях? Это наверное видно из тензора кривизны Римана(в котором я не разбираюсь)

Да, связь дефекта и кривизны такая же и в $n$-мерии. Хотя сама по себе кривизна усложняется, и только через дефект уже не описывается, ну да ладно.

Подумайте вот о чём. Допустим, у вас в 3-мерном пространстве вся кривизна сосредоточена в точке. Вы окружаете её контуром, наблюдаете дефект. Теперь сместите чуть-чуть плоскость этого контура. Точка в него уже не попадает. А дефект не может исчезнуть моментально...

[Sicker]

Munin в сообщении #936861 писал(а):

Вопрос. Сколько раз линия пересечёт сама себя? Параметры конуса и линии даны.

два

Munin в сообщении #936861 писал(а):

Вы про секционную кривизну слышали?

нет

Munin в сообщении #936861 писал(а):

Хотя сама по себе кривизна усложняется, и только через дефект уже не описывается, ну да ладно.

ага, те параметр кривизны в точке уже представляет собой более сложную штуку чем скаляр, и чтобы посчитать деффект по контуру нужно взять сумму всех элементарных площадок внутри контура, как то хитрожопо "умноженных" на этот объект, характеризующий кривизну, чтобы получить скаляр?

Munin в сообщении #936861 писал(а):

Подумайте вот о чём. Допустим, у вас в 3-мерном пространстве вся кривизна сосредоточена в точке. Вы окружаете её контуром, наблюдаете дефект. Теперь сместите чуть-чуть плоскость этого контура. Точка в него уже не попадает. А дефект не может исчезнуть моментально...

я так и думал)

[Munin]

Sicker в сообщении #936865 писал(а):

два

Нет, не на этом рисунке, а вообще. Есть конус, и есть на нём линия. Угол раствора конуса $\alpha,$ прицельный параметр линии $d.$ (Кстати, зависит ли ответ от $d$?)

Sicker в сообщении #936865 писал(а):

ага, те параметр кривизны в точке уже представляет собой более сложную штуку чем скаляр

Да, по сути, он представляет собой тензор 4 ранга. Он называется тензор Римана, и полностью описывает кривизну в точке. От него берут разные упрощения: тензор Риччи, тензор Вейля, тензор Эйнштейна, скалярную кривизну (скаляр кривизны) - но все они несут уже неполную информацию о кривизне. Например, скалярная кривизна может быть равна нулю, но кривизна (тензор Римана) всё-таки не равна нулю. Такие распределения кривизны имеют некоторое сходство с гармоническими скалярными и векторными полями.

Sicker в сообщении #936865 писал(а):

и чтобы посчитать деффект по контуру нужно взять сумму всех элементарных площадок внутри контура, как то хитрожопо "умноженных" на этот объект, характеризующий кривизну, чтобы получить скаляр?

Ну да. Но заметьте, что натянуть площадки на контур можно тоже по-разному. Можно натянуть плоскость (и то, если сам контур плоский), а можно "выгнуть" поверхность туда-сюда. И чтобы интеграл получался всегда один и тот же, то сама подынтегральная величина должна удовлетворять определённым условиям. И увы, дельта-функция в точке - уже не подходит.

-- 27.11.2014 16:34:21 --

А линия (в 3-мерном пространстве) - подходит, потому что с линии "снять" контур нельзя.

[Sicker]

Munin в сообщении #936872 писал(а):

Угол раствора конуса $\alpha,$

может удобнее угол развертки?

Munin в сообщении #936872 писал(а):

прицельный параметр линии $d.$

а что это?

[Munin]

Sicker в сообщении #936876 писал(а):

может удобнее угол развертки?

Хорошо, пусть будет угол развёртки.

Sicker в сообщении #936876 писал(а):

а что это?

В данном случае, минимальное расстояние между прямой и вершиной конуса.