Дифференциальная топология. Доказать связность GL+(n,R)

[mellom]

Доказать связность $GL+(n,R)$ – множество матриц с положительным определителем.
Понятно, что любая такая матрица может быть разложена в произведение ортогональной и верхнетреугольной, однако, какой путь можно построить от этих матриц (естественно, чтобы доказать лин. связность) Например, от верхнетреугольной к единичной и от ортогональной путь к 1.

-- 27.11.2014, 00:41 --

Как построить путь для ортогональных матриц я разобрался. Получается для двумерного случая что-то вроде
$h(t) = (\cos (\varphi t) \sin (\varphi t) -\sin (\varphi t) \cos (\varphi t))$ (матрица 2х2).
Теперь нужно построить путь для верхнетреугольной матрицы с положительным определителем.

-- 27.11.2014, 00:46 --

т.к. для верхнетреугольной матрицы мы должны получить путь в пространстве невырожденных верхнетреугольных матриц нужно построить путь не обнуляющий диагональных элементов, чтобы определитель не был равен 0. Мне подсказали, что верхнетреугольную матрицу можно разложить в произведение диагональной и ортогональной, с ортогональной построение пути понятно, однако остается диагональная матрица. Правильное ли вообще направление мысли или нет?

[patzer2097]

Не уверен, что здесь надо иметь дело с ортогональными матрицами (и не понимаю, как Вы это делаете). Достаточно доказать, что в $GL_+(n,\mathbb{R})$ соединены путем любые две треугольные матрицы, ведь всякая матрица является произведением верхней и нижней треугольной. А для треугольных все совсем просто, например

$$\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}-1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

[Evgenjy]

Любую невырожденную матрицу $A$ можно представить $A=TDS$, где $T$ и $S$ ортогональные матрицы, а $D$ диагональная с положительными диагональными элементами. Диагональную ясно, как непрерывно перевести в единичную. Для ортогональной матрицы $TS$ развейте вашу идею с поворотами.

[g______d]

Можно еще методом Гаусса привести к диагональной с $\pm 1$ на диагонали. Нужны 3 операции со строками: умножение строки на скаляр, прибавление кратного одной строки к другой и перестановка двух строк. Первые две очевидно делаются непрерывной деформацией ничегонеделания. Для третьей заметим, что достаточно уметь загонять нужную строку наверх, для чего достаточно циклической перестановки строк. Последняя является поворотом стандартного базиса вокруг вектора из всех единичек, который можно сделать непрерывно.

[mellom]

Evgenjy в сообщении #936562 писал(а):

Любую невырожденную матрицу $A$ можно представить $A=TDS$, где $T$ и $S$ ортогональные матрицы, а $D$ диагональная с положительными диагональными элементами. Диагональную ясно, как непрерывно перевести в единичную. Для ортогональной матрицы $TS$ развейте вашу идею с поворотами.

А в этом случае элементы диагональной матрицы могут ли быть все положительные (либо все отрицательные) ведь иначе непрерывное отображение не построить? (матрица может стать вырождена, либо придется менять знаки диагональных элементов)

[Evgenjy]

mellom в сообщении #936643 писал(а):

элементы диагональной матрицы могут ли быть все положительные

В указанном представлении диагональная матрица имеет именно положительные диагональные элементы. В этом суть решения. Эту матрицу можно непрерывно перевести в единичную не пересекая нулей.

[mellom]

Спасибо за варианты решений! Нашёл простое решение в курсе дифференциальной геометрии и топологии Фоменко и Мищенко.

[Evgenjy]

mellom в сообщении #937012 писал(а):

Нашёл простое решение в курсе дифференциальной геометрии и топологии Фоменко и Мищенко.

Странное решение. Что будет, если один из диагональных элементов верхнетреугольной матрицы меньше нуля? Придется переходить через ноль. Посмотрю книгу. Что там авторы имели ввиду?

[mellom]

Evgenjy в сообщении #937035 писал(а):

mellom в сообщении #937012 писал(а):

Нашёл простое решение в курсе дифференциальной геометрии и топологии Фоменко и Мищенко.

Странное решение. Что будет, если один из диагональных элементов верхнетреугольной матрицы меньше нуля? Придется переходить через ноль. Посмотрю книгу. Что там авторы имели ввиду?

Ну $GL(n,R)$ имеет две компоненты связности $GL+(n,R)$ и $GL-(n,R)$, следовательно диагональные элементы либо положительные, либо отрицательные.

[Deggial]

mellom в сообщении #937058 писал(а):

$GL+(n,R)$ и $GL-(n,R)$

$C_4^2$.
Наведите мышку на формулу.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).

[Evgenjy]

mellom в сообщении #937058 писал(а):

Ну $GL(n,R)$ имеет две компоненты связности $GL+(n,R)$ и $GL-(n,R)$, следовательно диагональные элементы либо положительные, либо отрицательные.

Нет не поэтому, а поскольку процесс Грама-Шмидта дает не просто верхнетреугольную матрицу, а верхнетреугольную матрицу с положительными диагональными элементами. Это, думаю должны были упомянуть Мищенко и Фоменко. Доказательство связности $SO$ это ваш процесс поворотов.