2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ряды
Сообщение25.11.2014, 20:40 


26/12/13
48
Исследовать на сходимость.
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos{\frac{\pi n}{4}}(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}$
Сделал по радикальному признаку Коши, опущу подробное вычисление предела:
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\cos{\frac{\pi n}{4}}(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}}}=\lim_{n \to \infty}  \sqrt[n]{\cos{\frac{\pi n}{4}}}\cdot {(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3}}})^\sqrt{n}=...=\frac 1 e$
Получилось, что $D<1$, то бишь ряд сходится.
По поводу этого:
ИСН в сообщении #936472 писал(а):
Ряд, конечно, сходится, но при чём тут признак? Смотрите. Чему равны следующие товарищи: $\cos{2\pi\over4},\cos{6\pi\over4},\cos{10\pi\over4}$?

Равны нулю, а что с этим.. делать?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.11.2014, 20:43 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.11.2014, 20:49 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение26.11.2014, 20:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Hsad в сообщении #936089 писал(а):
Сделал по радикальному признаку Коши, опущу подробное вычисление предела:
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\cos{\frac{\pi n}{4}}(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}}}=\lim_{n \to \infty}  \sqrt[n]{\cos{\frac{\pi n}{4}}}\cdot {(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3}}})^\sqrt{n}=...=\frac 1 e$

Тут есть одна проблема: признак Коши не применим к знакопеременным рядам. Нет, даже две: предела-то не существует.

Но если скрестить Вашу идею со всякими там признаками сравнения, то она станет вполне работоспособной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение26.11.2014, 22:43 


26/12/13
48
ewert в сообщении #936512 писал(а):
Hsad в сообщении #936089 писал(а):
Сделал по радикальному признаку Коши, опущу подробное вычисление предела:
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\cos{\frac{\pi n}{4}}(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}}}=\lim_{n \to \infty}  \sqrt[n]{\cos{\frac{\pi n}{4}}}\cdot {(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3}}})^\sqrt{n}=...=\frac 1 e$

Тут есть одна проблема: признак Коши не применим к знакопеременным рядам. Нет, даже две: предела-то не существует.

Но если скрестить Вашу идею со всякими там признаками сравнения, то она станет вполне работоспособной.


Составить ряд из модулей, применить признак сравнения? Косинус останется с модулем. $\left| \cos{\frac{\pi n}{4}} \right|$ В конце концов сравнить $\left| \cos{\frac{\pi n}{4}} \right| (\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}$ с этим
$(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}$ ? А дальше можно применить предельный признак? Если да, то к какому именно из рядов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение26.11.2014, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
К последнему. (в смысле, ряду с такими слагаемыми)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение26.11.2014, 22:58 


26/12/13
48
provincialka в сообщении #936570 писал(а):
К последнему. (в смысле, ряду с такими слагаемыми)

Применив радикальный признак Коши к данному ряду $(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}$ я получил все те же $\frac 1 e$. Т.е. $(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}$ сходится, значит сходится и $\cos{\frac{\pi n}{4}}(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}$. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение26.11.2014, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Вот теперь это (признак Коши) имеет смысл. А к первоначальному ряду - не имело: там предела нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение26.11.2014, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Верно. Причем абсолютно (то есть не абсолютно верно, а абсолютно сходится :D )
Только как-то некрасиво называть рядами выражения, в которых нет знака суммы. Нетрудно ведь его вставить, хотя бы без указания пределов.

Вы LaTeX Помощником пользуетесь? Очень удобно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение26.11.2014, 23:06 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
ИСН в сообщении #936592 писал(а):
Вот теперь это (признак Коши) имеет смысл. А к первоначальному ряду - не имело: там предела нет.

Ну это как посмотреть. В нормальной версии там верхний предел.
(Что не отменяет модуля под корнем.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение26.11.2014, 23:16 


26/12/13
48
provincialka в сообщении #936594 писал(а):
Верно. Причем абсолютно (то есть не абсолютно верно, а абсолютно сходится :D )
Только как-то некрасиво называть рядами выражения, в которых нет знака суммы. Нетрудно ведь его вставить, хотя бы без указания пределов.

Вы LaTeX Помощником пользуетесь? Очень удобно.


Про знак суммы учту, дабы в дальнейшем не смущать. Помощником не пользуюсь, набираю все "ручками" :) Всем спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group