Ряды

[Hsad]

Исследовать на сходимость.
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\cos{\frac{\pi n}{4}}(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}$
Сделал по радикальному признаку Коши, опущу подробное вычисление предела:
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\cos{\frac{\pi n}{4}}(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}}}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\cos{\frac{\pi n}{4}}}\cdot {(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3}}})^\sqrt{n}=...=\frac 1 e$
Получилось, что $D<1$, то бишь ряд сходится.
По поводу этого:

ИСН в сообщении #936472 писал(а):

Ряд, конечно, сходится, но при чём тут признак? Смотрите. Чему равны следующие товарищи: $\cos{2\pi\over4},\cos{6\pi\over4},\cos{10\pi\over4}$?

Равны нулю, а что с этим.. делать?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ewert]

Hsad в сообщении #936089 писал(а):

Сделал по радикальному признаку Коши, опущу подробное вычисление предела:
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\cos{\frac{\pi n}{4}}(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}}}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\cos{\frac{\pi n}{4}}}\cdot {(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3}}})^\sqrt{n}=...=\frac 1 e$

Тут есть одна проблема: признак Коши не применим к знакопеременным рядам. Нет, даже две: предела-то не существует.

Но если скрестить Вашу идею со всякими там признаками сравнения, то она станет вполне работоспособной.

[Hsad]

ewert в сообщении #936512 писал(а):

Hsad в сообщении #936089 писал(а):

Сделал по радикальному признаку Коши, опущу подробное вычисление предела:
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\cos{\frac{\pi n}{4}}(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}}}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\cos{\frac{\pi n}{4}}}\cdot {(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3}}})^\sqrt{n}=...=\frac 1 e$

Тут есть одна проблема: признак Коши не применим к знакопеременным рядам. Нет, даже две: предела-то не существует.

Но если скрестить Вашу идею со всякими там признаками сравнения, то она станет вполне работоспособной.

Составить ряд из модулей, применить признак сравнения? Косинус останется с модулем. $\left| \cos{\frac{\pi n}{4}} \right|$ В конце концов сравнить $\left| \cos{\frac{\pi n}{4}} \right| (\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}$ с этим
$(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}$ ? А дальше можно применить предельный признак? Если да, то к какому именно из рядов?

[provincialka]

К последнему. (в смысле, ряду с такими слагаемыми)

[Hsad]

provincialka в сообщении #936570 писал(а):

К последнему. (в смысле, ряду с такими слагаемыми)

Применив радикальный признак Коши к данному ряду $(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}$ я получил все те же $\frac 1 e$. Т.е. $(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}$ сходится, значит сходится и $\cos{\frac{\pi n}{4}}(\frac{\sqrt{n}+2}{\sqrt{n}+3})^{\sqrt{n^3}$. Верно?

[ИСН]

Вот теперь это (признак Коши) имеет смысл. А к первоначальному ряду - не имело: там предела нет.

[provincialka]

Верно. Причем абсолютно (то есть не абсолютно верно, а абсолютно сходится )
Только как-то некрасиво называть рядами выражения, в которых нет знака суммы. Нетрудно ведь его вставить, хотя бы без указания пределов.

Вы LaTeX Помощником пользуетесь? Очень удобно.

[Otta]

ИСН в сообщении #936592 писал(а):

Вот теперь это (признак Коши) имеет смысл. А к первоначальному ряду - не имело: там предела нет.

Ну это как посмотреть. В нормальной версии там верхний предел.
(Что не отменяет модуля под корнем.)

[Hsad]

provincialka в сообщении #936594 писал(а):

Верно. Причем абсолютно (то есть не абсолютно верно, а абсолютно сходится )
Только как-то некрасиво называть рядами выражения, в которых нет знака суммы. Нетрудно ведь его вставить, хотя бы без указания пределов.

Вы LaTeX Помощником пользуетесь? Очень удобно.

Про знак суммы учту, дабы в дальнейшем не смущать. Помощником не пользуюсь, набираю все "ручками" :) Всем спасибо.