Спектр прямоугольного цуга

[tech]

Здравствуйте.
Возник вопрос по следующей задаче:
Найти спектр следующих импульсов, изображённых на рисунке: ... в) прямоугольный цуг.

(Оффтоп)

Сдвигаем этот цуг так, чтобы серединка его оказалась в $t=0$.

Интегрируем

$$a(\omega)=\int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2} -\sin{(\omega_0 t)}e^{-i\omega t} dt=-\int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2} (\sin{\omega_0 t} \cos{\omega t}-i\sin{\omega_0 t} \sin{\omega t})dt=$$

$$=\frac{i}{2} \int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2}(\cos{(\omega_0-\omega)t} - \cos{(\omega_0+\omega)t}) dt$$

$\omega_0=2\pi/T, A=1$. В общем-то, уже понятно, что будет дальше.

Ответ же к задаче следующий:

$$g(\omega)=\frac{\tau}{2} \frac{\sin[(\omega-\omega_0) \tau /2]}{[(\omega-\omega_0) \tau /2]}+\frac{\tau}{2}\frac{\sin[(\omega+\omega_0) \tau /2]}{[(\omega+\omega_0) \tau /2]}; \ (A=1)$$

Я проверил, $g(\omega)=\int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2} \cos{(\omega_0 t)}e^{-i\omega t} dt$.

Вопрос: я что-то не понимаю/делаю неверно или на рисунке лишний полупериод?

[12d3]

На полупериод плевать, он уйдет в фазу. А вот в интегрировании у вас непонятно почему мнимая единица выскочила за знак интеграла.

[tech]

$$a(\omega)=-\int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2} (\sin{\omega_0 t} \cos{\omega t}-i\sin{\omega_0 t} \sin{\omega t})dt$$

Первое слагаемое есть сумма двух синусов пополам. Интеграл от этого слагаемого равен нулю.
Остаётся второе слагаемое (которое равно полуразности двух косинусов), и мнимая единица выходит за знак интеграла.
Разве не так?

[Pavia]

tech
Из какой книге задача?

[tech]

Pavia
Сборник задач Овчинкина (задача 11.3).

[12d3]

tech в сообщении #936435 писал(а):

Разве не так?

Ага, так понятно. Тогда вы считаете интеграл, получаете некое комплексное число и чтоб получить амплитуду, нужно взять от этого числа модуль. Вроде сходится с ответом.

[tech]

Возможно, я понял. Если мы, к примеру, имеем дело с периодической действительной функцией, то для того, чтобы записать ряд Фурье, нам нужно иметь: 1. коэффициенты при косинусах; 2. коэффициенты при синусах (либо же: 1. коэффициенты при косинусах/синусах; 2. фазы).

В случае же непериодической функции нам нужны вещественная и мнимая части $a(\omega)$. Могу предположить, что автор просто оставил мнимую часть (вещественная равна нулю). Хотя в таком случае, наверное, неправильно говорить, что это и есть спектр функции. Ведь спектром (в случае непериодической функции) называется такая функция $a(\omega)$, что:

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} a(\omega) e^{i\omega t} d{\omega}$$

[Munin]

Упражнение: рассмотрите данный цуг как произведение прямоугольника и синусоиды, и рассчитайте по табличным образам.