Индекс многогранника

[kavict]

Рассматривая деформацию жидкого тела плоскими стенками, расположенными как грани замкнутого многогранника, пришел к необходимости ввести особую характеристику такого расположения плоскостей.
Эту характеристику я назвал индексом многогранника ($Ih$) и определил так:

$$Ih=\sum_{i=1}^nL_i(2\ctg\frac{\alpha_i}2+\alpha_i-\pi)\,,$$

где: $n$ - число ребер многогранника;
$L_i$ - длина $i$-го ребра;
$\alpha_i$- величина двугранного угла на $i$-ом ребре.

Данное выражение получается в результате нахождения объема пустот между свободной поверхностью жидкости и углами сжимающего ее многогранника (подробнее - в работе [реклама удалена], с.27...30).

Эта величина $Ih$ связывает геометрические параметры многогранника и сжатого в нем жидкого тела следующим образом:
- площадь:

$$S_p-S\approx Ih\,r\,,$$

где: $S_p$ - площадь поверхности многогранника;
$S$ - площадь поверхности жидкого тела;
$r$ - радиус свободной поверхности жидкости под двугранными углами.

- объем:

$$P-V\approx \frac12Ih\,r^2\,,$$

где: $P$ - объем многогранника;
$V$ - объем жидкого тела.

Эти равенства тем точнее, чем меньше величина $r$.

Кроме этого обнаружено, что определенный таким образом индекс $Ih$ чувствителен к симметрии - правильный или полуправильный многогранник имеет минимальный индекс в своем типе. Но если его искажать, оставляя неизменным тип и объем, то индекс будет только расти.

Не менее интересным оказалось следующее. Если подсчитать индексы всех пяти правильных многогранников единичного объема, то их значения для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно будут такими: 11.16, 5.15, 2.83, 1.71, 0.80. Как видим, каждое последующее значение примерно вдвое меньше предыдущего.
Что это - случайность или какая-то неизвестная закономерность?

Ваше мнение?

[cool.phenon]

Я думаю, что здесь пока что никакой закономерности нет, так как все вычисления приближённые, и можно было бы аналогичным способом получить какой-то набор чисел, и тоже утверждать о закономерности. Если бы это было проделано для десятков, сотен тел, тогда можно было бы подозревать. А так -- последовательность очень маленькая.

Немного смущает размерность формулы. Я в гидродинамике нуль, но сложение радианов и их котангенсов настораживает.

[Deggial]

kavict в сообщении #933800 писал(а):

подробнее - в работе [реклама удалена], с.27...30

kavict, предупреждение за саморекламу

[kavict]

cool.phenon в сообщении #933812 писал(а):

Я думаю, что здесь пока что никакой закономерности нет, так как все вычисления приближённые, и можно было бы аналогичным способом получить какой-то набор чисел, и тоже утверждать о закономерности. Если бы это было проделано для десятков, сотен тел, тогда можно было бы подозревать. А так -- последовательность очень маленькая.

Согласен, последовательность очень маленькая, чтобы делать выводы, но, к сожалению, природа нам дала только пять правильных многогранников.

С другой стороны, если бы генератор случайных чисел выдал бы такую последовательность, то мы бы усомнились, что он правильно работает.

cool.phenon в сообщении #933812 писал(а):

Немного смущает размерность формулы. Я в гидродинамике нуль, но сложение радианов и их котангенсов настораживает.

Гидродинамика здесь ни причем. Это школьная геометрия.
Из точки $o$ проведем два луча под углом $\alpha$ друг к другу. Затем впишем в этот угол дугу окружности, обращенную выпуклостью к точке $o$, и найдем площадь треугольника, составленного из лучей и дуги. Вот тут то и появится сумма радианов и их котангенсов.

[cool.phenon]

Цитата:

Согласен, последовательность очень маленькая, чтобы делать выводы, но, к сожалению, природа нам дала только пять правильных многогранников.

Но это же не значит, что если посчитать что-то с потолка для правильных многогранников, то получим какую-то дивную закономерность.

Цитата:

С другой стороны, если бы генератор случайных чисел выдал бы такую последовательность, то мы бы усомнились, что он правильно работает.

Но генератор мог бы выдать такие числа, это факт. Просто по выборке из 5 чисел рано делать предположения

[Aritaborian]

kavict в сообщении #934701 писал(а):

Из точки $o$ проведем два луча под углом $\alpha$ друг к другу. Затем впишем в этот угол дугу окружности, обращенную выпуклостью к точке $o$, и найдем площадь треугольника, составленного из лучей и дуги. Вот тут то и появится сумма радианов и их котангенсов.

Всё равно ничего не понимаю. Для меня складывать углы с их котангенсами (синусами, косинусами...) это всё равно, что складывать метры с килограммами (несколько утрирую). kavict, можете привести чертёж? Почему радианы, а не градусы, в конце концов?

[12d3]

Aritaborian в сообщении #934891 писал(а):

Для меня складывать углы с их котангенсами (синусами, косинусами...) это всё равно, что складывать метры с килограммами (несколько утрирую).

Аивозьмите, например, формулу площади сегмента круга. В шаровом сегменте вроде бы такие же вещи вылазят.

[Aritaborian]

Не буду я её брать. Я не знаю, где её брать. Дайте её мне на блюде и покажите, где там радианы складываются с косинусами или чем-то в этом роде. И чертёж.

(Оффтоп)

И счёт, пожалуйста ;-)

[Vince Diesel]

kavict в сообщении #933800 писал(а):

Эти равенства тем точнее, чем меньше величина $r$.

Главный член в разложении?

kavict в сообщении #933800 писал(а):

Кроме этого обнаружено, что определенный таким образом индекс $Ih$ чувствителен к симметрии - правильный или полуправильный многогранник имеет минимальный индекс в своем типе. Но если его искажать, оставляя неизменным тип и объем, то индекс будет только расти.

Ну раз тут физика, мб из каких-нибудь энергетических соображений это следует?

kavict в сообщении #933800 писал(а):

Не менее интересным оказалось следующее. Если подсчитать индексы всех пяти правильных многогранников единичного объема, то их значения для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно будут такими: 11.16, 5.15, 2.83, 1.71, 0.80. Как видим, каждое последующее значение примерно вдвое меньше предыдущего.

А точные значения привести можно, для длины ребра 1 скажем?

[kavict]

Aritaborian в сообщении #934891 писал(а):

Всё равно ничего не понимаю. Для меня складывать углы с их котангенсами (синусами, косинусами...) это всё равно, что складывать метры с килограммами (несколько утрирую). kavict, можете привести чертёж? Почему радианы, а не градусы, в конце концов?

Рассмотрим сечение $AOB$ двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру, и свободную поверхность жидкости, вошедшей в этот угол (см. чертеж).

$$ \begin{picture}(400,200) \put(20,20){\line(3,4){120}} \put(20,20){\line(1,0){200}} \put(20,20){\line(2,1){200}} \put(200,20){\line(0,1){100}} \put(128,164){\line(4,-3){90}} \qbezier(200,20)(80,50)(128,164) \put(20,20){\circle*{3}} \put(200,20){\circle*{3}} \put(200,110){\circle*{3}} \put(128,164){\circle*{3}} \put(122,71){\circle*{3}} \put(200,110){\vector(-1,-1){61}} \put(50,20){\vector(-3,4){15}} \put(41,32){\vector(3,-4){9}} \put(10,10){O} \put(202,115){C} \put(116,164){A} \put(108,72){D} \put(195,8){B} \put(150,70){$r$} \put(45,28){$\alpha$} \end{picture} $$

Двугранный угол имеет величину $\alpha$, а поверхность жидкости представляет собой часть кругового цилиндра радиусом $r$. Найдем площадь $S_{AOBD}$ сечения пустот между сторонами угла и поверхностью жидкости. Площадь четырехугольника $AOBC$ равна:

$$S_{AOBC}=2\cdot\frac12\cdot AC\cdot AO=r\cdot r\cdot \ctg\frac\alpha 2$$

Площадь кругового сектора $ADBC$:

$$S_{ADBC}=\frac{\pi-\alpha}{2\pi}\pi r^2=\frac12(\pi-\alpha)r^2$$

Окончательно, площадь сечения пустот:

$$S_{AOBD}=S_{AOBC}-S_{ADBC}=r^2\ctg\frac\alpha 2-\frac12(\pi-\alpha)r^2=\\ \frac12 r^2(2\ctg\frac\alpha 2+\alpha-\pi)$$

Как видим, в скобках оказалась сумма котангенса и его угла в радианах.

P.S. А градусы можно складывать только с градусами и ни с чем иным.

[provincialka]

Для снятия сомнений можно и более простой пример привести. Площадь сектора с углом $\alpha$ равна $r^2\alpha/2$, а площадь треугольника, вписанного в этот сектор - $r^2\sin\alpha/2$. Можно же их вычесть друг из друга? Именно потому, что угол - в радианах, эта мера не произвольная, она связана с длиной (угол, которому соответствует дуга, равная по длине радиусу).

Кстати, $\sin\alpha \sim \alpha$ при $\alpha\to 0$

[Aritaborian]

kavict, provincialka, спасибо за объяснения.

[kavict]

Vince Diesel в сообщении #934989 писал(а):

Главный член в разложении??

Извините, не понял, о каком разложении идет речь?

Vince Diesel в сообщении #934989 писал(а):

Ну раз тут физика, мб из каких-нибудь энергетических соображений это следует?

Индекс многогранника - это геометрия, и то, что он растет при искажении, устанавливается тоже геометрически. Физика здесь проявляется следующим образом. Если многогранник с сжатой в нем жидкостью искажать, оставляя неизменным объем, то, вследствие несжимаемости жидкости, будет оставаться постоянным объем пустот $V_h$ (как разность объема многогранника и объема жидкости):

$$V_h=\frac12Ih\,r^2=\operatorname{const}$$

Если обозначить индекс неискаженного многогранника $Ih_0$, а индекс искаженного $Ih_1$, то будет иметь место соотношение:

$$\frac{r^2_1}{r^2_0}=\frac{Ih_0}{Ih_1}$$

откуда радиус свободной поверхности жидкости в искаженном многограннике:

$$r_1=r_0\sqrt{\frac{Ih_0}{Ih_1}}$$

Отсюда видим, что в искаженном многограннике с ростом его индекса радиус свободной поверхности жидкости уменьшается (следовательно, растет давление). При этом жидкость глубже входит в двугранные углы многогранника и разность $\Delta S$ площади поверхности многогранника и поверхности жидкости, казалось бы, должна уменьшаться. Но на самом деле это не так - ведь сам многогранник тоже изменился. Поэтому, если до искажения эта разность была $\Delta S_0=Ih_0\,r_0$, то после искажения стала:

$$\Delta S_1=Ih_1\,r_1=Ih_1\,r_0\sqrt{\frac{Ih_0}{Ih_1}}=r_0\sqrt{Ih_0 Ih_1}$$

то есть даже несколько увеличилась. Тем не менее, площадь поверхности жидкости при деформации становится больше, т.к. при этом растет площадь поверхности самого многогранника, но это уже вопрос геометрии. А работа $A$ сил, деформирующих многогранник, равна:

$$A=f(S_1-S_0)$$

где: $f$ - коэффициент поверхностного натяжения жидкости;
$S_1$ - площадь поверхности жидкости в искаженном многограннике;
$S_0$ - площадь поверхности жидкости в неискаженном многограннике.

Если же убрать те силы, которые искажали многогранник, то жидкость, стремясь уменьшить свою поверхность, сможет это сделать только за счет увеличения радиусов свободной поверхности (уменьшая давление), приводя многогранник в состояние наименьшего индекса, когда он становится наиболее симметричным. При этом вернется та работа, которая была затрачена на искажение многогранника.

Vince Diesel в сообщении #934989 писал(а):

А точные значения привести можно, для длины ребра 1 скажем?

Приведенные значения посчитаны с точностью до второго знака. Можно посчитать и точнее, но какой в этом смысл?
Что касается единичной длины ребра, то здесь дело в следующем. Индекс многогранника в том виде, который приведен выше, имеет размерность длины и линейно зависит от размера многогранника. Если брать разные многогранники с единичной длиной ребра, то они окажутся разных объемов, а индексы нужно сравнивать у равновеликих тел. Поэтому, если возьмем многогранники с одинаковой длиной ребра, посчитаем их индексы и приведем к одному объему, то получим те же пропорции, которые приведены.