Числовые последовательности

[VAL]

provincialka в сообщении #934812 писал(а):

Согласна.

VAL в сообщении #934785 писал(а):

А ответ на второй вопрос ТС, разумеется, "да". Более того последовательность является даже вполне упорядоченным множеством.

Тут надо уточнить, что является элементами этого множества. Например, если последовательность является функцией $x: \mathbb N\to A$, то она задает линейный порядок, но не обязательно на множестве $A$. Потому что члены последовательности могут совпадать.

И я согласен

[arseniiv]

Qazed в сообщении #934694 писал(а):

Можно ли сказать, что числовая последовательность есть функция отображение из $\mathbb N$ в $\mathbb R$?

$$\{ x_n \}_{n=1}^\infty : \mathbb N \to \mathbb R$$

Как уже упомянули, да. Но я бы
(1) обозначал последовательности круглыми скобками вместо фигурных. Фигурные обычно используются для множеств, а упорядоченные штуки пишут в круглых/угловых;
(2) не писал бы так, а написал бы что-то типа $n\mapsto x_n\colon\mathbb N\to\mathbb R$ (или $x\colon\mathbb N\to\mathbb R$, но это уже вряд ли будет ясно/удобно такому же большому числу читателей);
(3) для описания функции более принято использовать \colon, чем :, у них разные пробелы.

Qazed в сообщении #934694 писал(а):

$\{ x_n \}_{n=9}^{1}$ (в обратную сторону)

Непонятно. Эта запись будет обозначать либо конечную последовательность (чаще, действительно, для конечных говорят «кортеж» или «$n$-ка») без элементов, либо ту же самую, что и

Qazed в сообщении #934694 писал(а):

$ \{ x_n \}_{n=1}^{9} $

Последовательность «идёт» так, как упорядочено множество индексов, так что такие манипуляции порядок не сменят. Вот если у нас есть кортеж $(x_1,\ldots,x_n)$, получить из него перевёрнутый можно (если $(x_n,\ldots,x_1)$ чем-то сильно не устраивает) так: $(x_{n+1-i})_{i=1}^n$. Или назвать его элементы игреками и написать $y_i = x_{n+1-i}$.

Кстати, обозначение $\{a_n\}_{n\in I}$ можно понять как множество, собранное из элементов последовательности, поэтому я и упоминал скобки.

provincialka в сообщении #934736 писал(а):

Знаете, что такое множество? Каждый его элемент входит в него только один раз.

Так писать, наверно, не совсем хорошо, даже если и методически полезно. Корректнее сказать, что отношение принадлежности не выражает никакой информации кроме той, есть элемент в множестве или отсутствует, но не, разумеется, его количество там или, например, какое-нибудь расположение или там цвет. (Сначала поместил в оффтоп, а потом подумал, что тут как раз есть связь с путаницей Qazed — в последовательности как раз есть та недостающая информация, на каких местах стоит элемент, и потому элемент не может «принадлежать» последовательности в смысле $\in$. Это, конечно, ясно как день, но убеждаюсь, что иногда стоит пересказывать очевидное. )

[Qazed]

Спасибо. Каким образом тогда можно определить последовательность через вполне упорядоченное множество?

$$(n_x)_{n=1}^\infty = (?)$$

[provincialka]

Не очень понятно, зачем. Тем более, что не всякое вполне упорядоченное множество изоморфно последовательности. Если же вы такой изоморфизм сможете построить (то есть пронумеровать элементы множества "по порядку") то это и будет последовательность.

[ewert]

arseniiv в сообщении #934862 писал(а):

Но я бы
(1) обозначал последовательности круглыми скобками вместо фигурных.

и вошли бы в клинч с большинством авторов, которые обычно пишут всё-таки фигурные, хотя и знают, что это неприлично.