Теорема Ферма в целых Гауссовых числах для показателя 4

[Коровьев]

Гауссовы целые числа — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.

Доказано, что уравнение Ферма $x^4+y^4=z^4$ не имеет в этих числах нетривиальных решений.
(Смотри, к примеру - Рибенбойм. Последняя теорема Ферма для любителей. Раздел Гауссовы числа.)
Я приведу очень простое доказательство этого утверждения.

1.Для начала докажем лемму.
Если для неких чисел из гауссова поля выполняется соотношение
$$\[ z^2 = \left( {1 - x^2 } \right)\left( {1 - y^2 } \right) \]$
То существуют такие числа $\alpha,\beta $ из этого поля, что выполняется
$$\[ x = \frac{{\alpha + \beta }}{{1 + \alpha \beta }},y = \frac{{\alpha - \beta }}{{1 - \alpha \beta }} \]$

Решая эту систему, получим:
$$\[ \alpha ^2 \left( {x + y} \right) - 2\alpha \left( {1 + xy} \right) + \left( {x + y} \right) = 0 \]$
$$\[ \alpha = \frac{{\left( {1 + xy} \right) + \sqrt {\left( {1 + xy} \right)^2 - \left( {x + y} \right)^2 } }}{{x + y}} = \frac{{\left( {1 + xy} \right) + \sqrt {\left( {1 - x^2 } \right)\left( {1 - y^2 } \right)} }}{{x + y}} = \frac{{\left( {1 + xy} \right) + z}}{{x + y}} \]$
Аналогично:
$$\[ \beta ^2 \left( {x - y} \right) - 2\beta \left( {1 - xy} \right) + \left( {x - y} \right) = 0 \]$
$\[ \beta = \frac{{\left( {1 - xy} \right) + z}}{{x - y}} \]$

2.Перейдём к доказательству.
Пусть для неких целых чисел Гаусса выполняется
$$\[ x^4 - y^4 = z^4 \]$
тогда
$$\[ \bar x^4 - \bar y^4 = \bar z^4 \]$
$$\[ \left( {z\bar z} \right)^4 = \left( {x^4 - y^4 } \right)\left( {\bar x^4 - \bar y^4 } \right) \]$

Перейдём к числам из поля Гаусса
$$\[ \left( {\frac{{z\bar z}}{{x\bar x}}} \right)^4 = \left( {1 - \left( {\frac{y}{x}} \right)^4 } \right)\left( {1 - \left( {\frac{{\bar y}}{{\bar x}}} \right)^4 } \right) \]$

Покажем, что даже более общее уравнение в числах из поля Гаусса
$$\[ t^2 = \left( {1 - \chi ^2 } \right)\left( {1 - \bar \chi ^2 } \right) \]$
не имеет решений кроме тривиальных, $ \chi $ - рациональное.

Пусть более общее уравнение выполняется для неких чисел из поля Гаусса.
Тогда по доказанной лемме существуют такие $\alpha , \beta$, что
$$\[ \chi = \frac{{\alpha + \beta }}{{1 + \alpha \beta }},\bar \chi = \frac{{\alpha - \beta }}{{1 - \alpha \beta }} \]$
С другой стороны
$$\[ \bar \chi = \frac{{\alpha - \beta }}{{1 - \alpha \beta }} = \frac{{\bar \alpha + \bar \beta }}{{1 + \bar \alpha \bar \beta }} \]$
Далее
$$\[ \alpha - \beta + \alpha \bar \alpha \bar \beta - \bar \alpha \beta \bar \beta = \bar a + \bar \beta - \alpha \bar \alpha \beta - \alpha \beta \bar \beta \]$
$$\[ \left( {\alpha - \bar \alpha } \right) + \beta \bar \beta \left( {\alpha - \bar \alpha } \right) = \left( {\beta + \bar \beta } \right) - \alpha \bar \alpha \left( {\beta + \bar \beta } \right) \]$
$\[ \left( {\alpha - \bar \alpha } \right)\left( {1 + \beta \bar \beta } \right) = \left( {\beta + \bar \beta } \right)\left( {1 - \alpha \bar \alpha } \right) \]$

Но левая часть этого уравнения мнимое рациональное число, в то время как правая часть - рациональное число.
Следовательно, исходное допущение для более общего уравнения в числах из поля Гаусса неверно.
И, следовательно, уравнение Ферма в целых Гауссовых числах для показателя $n=4$ не имеет в этих числах нетривиальных решений.

p.s. Я хотел сделать правку и случайно снёс эту тему . Эта восстановленная.
Доказательство получилось уж больно простым. Наверно, где-то ошибка, но я не нашёл.

[venco]

А где в лемме 1 доказательство того, что $\alpha$ и $\beta$ - целые? Или это не нужно? Я дальше не смотрел.

[Коровьев]

venco в сообщении #932469 писал(а):

А где в лемме 1 доказательство того, что $\alpha$ и $\beta$ - целые? Или это не нужно? Я дальше не смотрел.

Это не обязательно. У меня указано

Цитата:

...То существуют такие числа $\alpha,\beta $ из этого поля, что выполняется...

т.е. из Гауссова поля.

[nnosipov]

А что будет в лемме, когда $x+y=0$ или $x-y=0$? Этот случай формально не рассмотрен.

[venco]

Коровьев в сообщении #932485 писал(а):

venco в сообщении #932469 писал(а):

А где в лемме 1 доказательство того, что $\alpha$ и $\beta$ - целые? Или это не нужно? Я дальше не смотрел.

Это не обязательно. У меня указано

Цитата:

...То существуют такие числа $\alpha,\beta $ из этого поля, что выполняется...

т.е. из Гауссова поля.

А разве деление определено для любых гауссовых целых?

[Феликс Шмидель]

По-моему, таким методом можно доказать, что и равенство $x^2 - y^2 = z^2$ невозможно.
В самом деле, если $x^2 - y^2 = z^2$, то

${\bar x}^2-{\bar y}^2 ={\bar z}^2$
$(z {\bar z})^2 =(x^2 - y^2) ({\bar x}^2 - {\bar y}^2)$

Делим последнее равенство на $(x {\bar x})^2$ и вперёд с песней.

[Коровьев]

Феликс Шмидель в сообщении #932517 писал(а):

По-моему, таким методом можно доказать, что и равенство $x^2 - y^2 = z^2$ невозможно.
В самом деле, если $x^2 - y^2 = z^2$, то

${\bar x}^2-{\bar y}^2 ={\bar z}^2$
$(z {\bar z})^2 =(x^2 - y^2) ({\bar x}^2 - {\bar y}^2)$

Делим последнее равенство на $(x {\bar x})^2$ и вперёд с песней.

Да, всё верно.
Ошибка у меня где-то в лемме, где - пока не соображу.
Видимо, здесь
$\[ \sqrt {z^2 } = z \]$

Для рациональных чисел лемма верна.

[Коровьев]

Собака порылась в этом конечном уравнении

Коровьев в сообщении #932457 писал(а):

$$\[ \left( {\alpha - \bar \alpha } \right)\left( {1 + \beta \bar \beta } \right) = \left( {\beta + \bar \beta } \right)\left( {1 - \alpha \bar \alpha } \right) \]$$

Если получаемые числа: $\alpha$ рациональное число, а $ \beta$ мнимое (а это обязано быть так), то никакого противоречия нет.
Ну и доказательства теоремы тоже нет.

[nnosipov]

С леммой всё в порядке, это один из возможных вариантов параметризации.

[Коровьев]

Моя идея доказать отсутствие решений в целых Гауссовых числах у уравнения

$$ \left( {\alpha ^4 - \beta ^4 } \right)\left( {\bar \alpha ^4 - \bar \beta ^4 } \right) =d^2$

и тем самым доказать теорему Ферма при $n=4$ для целых Гауссовых чисел оказалась гнилой , ибо для приведённого уравнения я нашёл решения в целых Гауссовых числах и даже параметрические.

$$\alpha = 1 + \left( {1 + 2i} \right)m + \left( {1 + i} \right)m^2 $

$$\beta = \left( {1 + i} \right) + m + \left( {1 - i} \right)m^2 $

$$\bar \alpha = 1 + \left( {1 - 2i} \right)m + \left( {1 - i} \right)m^2 $

$$\bar \beta = \left( {1 - i} \right) + m + \left( {1 + i} \right)m^2 $

$$d = 16m^7 + 56m^6 + 112m^5 + 140m^4 + 84m^3 + 14m^2 - 12m - 5$

где $m$ целое рациональное число.