2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Ферма в целых Гауссовых числах для показателя 4
Сообщение17.11.2014, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Гауссовы целые числа — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.

Доказано, что уравнение Ферма $x^4+y^4=z^4$ не имеет в этих числах нетривиальных решений.
(Смотри, к примеру - Рибенбойм. Последняя теорема Ферма для любителей. Раздел Гауссовы числа.)
Я приведу очень простое доказательство этого утверждения.

1.Для начала докажем лемму.
Если для неких чисел из гауссова поля выполняется соотношение
$$\[
z^2  = \left( {1 - x^2 } \right)\left( {1 - y^2 } \right)
\]$
То существуют такие числа $\alpha,\beta $ из этого поля, что выполняется
$$\[
x = \frac{{\alpha  + \beta }}{{1 + \alpha \beta }},y = \frac{{\alpha  - \beta }}{{1 - \alpha \beta }}
\]$

Решая эту систему, получим:
$$\[
\alpha ^2 \left( {x + y} \right) - 2\alpha \left( {1 + xy} \right) + \left( {x + y} \right) = 0
\]$
$$\[
\alpha  = \frac{{\left( {1 + xy} \right) + \sqrt {\left( {1 + xy} \right)^2  - \left( {x + y} \right)^2 } }}{{x + y}} = \frac{{\left( {1 + xy} \right) + \sqrt {\left( {1 - x^2 } \right)\left( {1 - y^2 } \right)} }}{{x + y}} = \frac{{\left( {1 + xy} \right) + z}}{{x + y}}
\]$
Аналогично:
$$\[
\beta ^2 \left( {x - y} \right) - 2\beta \left( {1 - xy} \right) + \left( {x - y} \right) = 0
\]$
$\[
\beta  = \frac{{\left( {1 - xy} \right) + z}}{{x - y}}
\]$

2.Перейдём к доказательству.
Пусть для неких целых чисел Гаусса выполняется
$$\[
x^4  - y^4  = z^4 
\]$
тогда
$$\[
\bar x^4  - \bar y^4  = \bar z^4 
\]$
$$\[
\left( {z\bar z} \right)^4  = \left( {x^4  - y^4 } \right)\left( {\bar x^4  - \bar y^4 } \right)
\]$

Перейдём к числам из поля Гаусса
$$\[
\left( {\frac{{z\bar z}}{{x\bar x}}} \right)^4  = \left( {1 - \left( {\frac{y}{x}} \right)^4 } \right)\left( {1 - \left( {\frac{{\bar y}}{{\bar x}}} \right)^4 } \right)
\]$

Покажем, что даже более общее уравнение в числах из поля Гаусса
$$\[
t^2  = \left( {1 - \chi ^2 } \right)\left( {1 - \bar \chi ^2 } \right)
\]$
не имеет решений кроме тривиальных, $ \chi $ - рациональное.

Пусть более общее уравнение выполняется для неких чисел из поля Гаусса.
Тогда по доказанной лемме существуют такие $\alpha , \beta$, что
$$\[
\chi  = \frac{{\alpha  + \beta }}{{1 + \alpha \beta }},\bar \chi  = \frac{{\alpha  - \beta }}{{1 - \alpha \beta }}
\]$
С другой стороны
$$\[
\bar \chi  = \frac{{\alpha  - \beta }}{{1 - \alpha \beta }} = \frac{{\bar \alpha  + \bar \beta }}{{1 + \bar \alpha \bar \beta }}
\]$
Далее
$$\[
\alpha  - \beta  + \alpha \bar \alpha \bar \beta  - \bar \alpha \beta \bar \beta  = \bar a + \bar \beta  - \alpha \bar \alpha \beta  - \alpha \beta \bar \beta 
\]$
$$\[
\left( {\alpha  - \bar \alpha } \right) + \beta \bar \beta \left( {\alpha  - \bar \alpha } \right) = \left( {\beta  + \bar \beta } \right) - \alpha \bar \alpha \left( {\beta  + \bar \beta } \right)
\]$
$\[
\left( {\alpha  - \bar \alpha } \right)\left( {1 + \beta \bar \beta } \right) = \left( {\beta  + \bar \beta } \right)\left( {1 - \alpha \bar \alpha } \right)
\]$

Но левая часть этого уравнения мнимое рациональное число, в то время как правая часть - рациональное число.
Следовательно, исходное допущение для более общего уравнения в числах из поля Гаусса неверно.
И, следовательно, уравнение Ферма в целых Гауссовых числах для показателя $n=4$ не имеет в этих числах нетривиальных решений.

p.s. Я хотел сделать правку и случайно снёс эту тему :oops:. Эта восстановленная.
Доказательство получилось уж больно простым. Наверно, где-то ошибка, но я не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма в целых Гауссовых числах для показателя 4
Сообщение17.11.2014, 17:34 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
А где в лемме 1 доказательство того, что $\alpha$ и $\beta$ - целые? Или это не нужно? Я дальше не смотрел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма в целых Гауссовых числах для показателя 4
Сообщение17.11.2014, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
venco в сообщении #932469 писал(а):
А где в лемме 1 доказательство того, что $\alpha$ и $\beta$ - целые? Или это не нужно? Я дальше не смотрел.

Это не обязательно. У меня указано
Цитата:
...То существуют такие числа $\alpha,\beta $ из этого поля, что выполняется...

т.е. из Гауссова поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма в целых Гауссовых числах для показателя 4
Сообщение17.11.2014, 17:57 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
А что будет в лемме, когда $x+y=0$ или $x-y=0$? Этот случай формально не рассмотрен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма в целых Гауссовых числах для показателя 4
Сообщение17.11.2014, 18:12 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Коровьев в сообщении #932485 писал(а):
venco в сообщении #932469 писал(а):
А где в лемме 1 доказательство того, что $\alpha$ и $\beta$ - целые? Или это не нужно? Я дальше не смотрел.

Это не обязательно. У меня указано
Цитата:
...То существуют такие числа $\alpha,\beta $ из этого поля, что выполняется...

т.е. из Гауссова поля.
А разве деление определено для любых гауссовых целых?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма в целых Гауссовых числах для показателя 4
Сообщение17.11.2014, 18:34 


31/03/06
1384
По-моему, таким методом можно доказать, что и равенство $x^2 - y^2 = z^2$ невозможно.
В самом деле, если $x^2 - y^2 = z^2$, то

${\bar x}^2-{\bar y}^2 ={\bar z}^2$
$(z {\bar z})^2 =(x^2 - y^2) ({\bar x}^2 - {\bar y}^2)$

Делим последнее равенство на $(x {\bar x})^2$ и вперёд с песней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма в целых Гауссовых числах для показателя 4
Сообщение17.11.2014, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Феликс Шмидель в сообщении #932517 писал(а):
По-моему, таким методом можно доказать, что и равенство $x^2 - y^2 = z^2$ невозможно.
В самом деле, если $x^2 - y^2 = z^2$, то

${\bar x}^2-{\bar y}^2 ={\bar z}^2$
$(z {\bar z})^2 =(x^2 - y^2) ({\bar x}^2 - {\bar y}^2)$

Делим последнее равенство на $(x {\bar x})^2$ и вперёд с песней.


Да, всё верно.
Ошибка у меня где-то в лемме, где - пока не соображу. :oops:
Видимо, здесь
$\[
\sqrt {z^2 }  = z
\]$

Для рациональных чисел лемма верна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма в целых Гауссовых числах для показателя 4
Сообщение17.11.2014, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Собака порылась в этом конечном уравнении
Коровьев в сообщении #932457 писал(а):
$$\[
\left( {\alpha  - \bar \alpha } \right)\left( {1 + \beta \bar \beta } \right) = \left( {\beta  + \bar \beta } \right)\left( {1 - \alpha \bar \alpha } \right)
\]$$

Если получаемые числа: $\alpha$ рациональное число, а $ \beta$ мнимое (а это обязано быть так), то никакого противоречия нет.
Ну и доказательства теоремы тоже нет. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма в целых Гауссовых числах для показателя 4
Сообщение18.11.2014, 04:39 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
С леммой всё в порядке, это один из возможных вариантов параметризации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма в целых Гауссовых числах для показателя 4
Сообщение23.11.2014, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Моя идея доказать отсутствие решений в целых Гауссовых числах у уравнения

$$ \left( {\alpha ^4  - \beta ^4 } \right)\left( {\bar \alpha ^4  - \bar \beta ^4 } \right)  =d^2$

и тем самым доказать теорему Ферма при $n=4$ для целых Гауссовых чисел оказалась гнилой :cry: , ибо для приведённого уравнения я нашёл решения в целых Гауссовых числах и даже параметрические.

$$\alpha  = 1 + \left( {1 + 2i} \right)m + \left( {1 + i} \right)m^2 $

$$\beta  = \left( {1 + i} \right) + m + \left( {1 - i} \right)m^2 $

$$\bar \alpha  = 1 + \left( {1 - 2i} \right)m + \left( {1 - i} \right)m^2 $

$$\bar \beta  = \left( {1 - i} \right) + m + \left( {1 + i} \right)m^2 $

$$d = 16m^7  + 56m^6  + 112m^5  + 140m^4  + 84m^3  + 14m^2  - 12m - 5$

где $m$ целое рациональное число.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group