Количество числовых действий

[luitzen]

shust писал(а):

Спросите у ученика начальной школы сколько действий он знает.

Конечно же, пять: нумерация, аддиция, субтракция, мультипликация и дивизия. Так учил нас сам Л. Ф. Магницкий.
А с долями (это что-то похожее на ваши рациональные числа) возможны еще два действия — пермутация и аббревиация. Но что они такое — не помню, т. к. стоял в это время на горохе

[Профессор Снэйп]

shust писал(а):

Вы фактически определили числовые действия с количеством их, эквивалентным множеству натуральных чисел. Для экономии не стал включать этот вариант в опрос, хотя можно было бы. Эти действия по Вашему выражению - "хорошие".

Не знаю, "хорошие" они или "плохие". Просто там где-то до меня было сказано, что "хорошими" действиями являются сложение, умножение, возведение в степень... И я вспомнил, что эти три действия --- члены одного ряда, который естественным образом продолжается.

[Сомик]

Профессор Снэйп писал(а):

"хорошими" действиями являются сложение, умножение, возведение в степень..

А я вот недавно сдавал экзамен по компьютерной алгебре, так там был вопрос - "какие операции с числами являются простыми, а какие сложными?". Ответ - все зависит от того как мы натуральные числа представляем. Если в "стандарной форме" в виде раложения по степеням некотрого k (например, наша стандартная десятичная запись) то тогда к простым можно отнести сложение и вычитание, а к сложным деление и умножение. А если представлять натуральное числа в виде произведения простых $n=p_1^{k_1} \dots p_r^{k_r}$, то тут сложение и вычитание - это сложные операции, а умножение и деление - простые.

[shust]

luitzen писал(а):

Конечно же, пять: нумерация, аддиция, субтракция, мультипликация и дивизия. Так учил нас сам Л. Ф. Магницкий.
А с долями (это что-то похожее на ваши рациональные числа) возможны еще два действия — пермутация и аббревиация. Но что они такое — не помню, т. к. стоял в это время на горохе

Так это было в эпоху царя Гороха. Сейчас в начальной школе изучаются 4 простейших действия,
называемых арифметическими: сложение, умножение и два обратных им - вычитание и деление.
В старших классах школы к ним добавляются 3 действия: возведение в степень и два обратных ему -
извлечение корня и логарифмирование.Последние три изучаются в виде степенной, показательной
и логарифмической функций.
На всякий случай спросил у своего одиннадцатиклассника: сколько он действий знает.
Он пробурчал, что-то из первых 4-х и попросил больше не беспокоить и не отрывать
от любимого занятия на компьютере.

[Brukvalub]

А вот отыскание дискретного логарифма, или хроматического числа графа - это числовые действия?

[Echo-Off]

А факторизация? Скажем, каждому числу сопоставляется наименьший его простой делитель

[shust]

To Brukvalub
To Echo-Off
Под числовыми действиями я предполагал достаточно малое подмножество
весьма обширного множества всевозможных числовых операций, алгоритмов,
отображений, примеры некоторых их них вы привели.
Это подмножество может быть задано рекурсивным образом в виде
последовательности функций вида

Цитата:

Профессор Снэйп писал(а):
Есть такая вещь, как функция Аккермана. Определяется она так:

$A(0,x,y) = x+y$
$A(1,x,y) = x \cdot y$
$A(2,x,y) = x^y$
$A(3,x,y) = x^{x^{{\ldots}^x$ (возведение в степень производится $y$ раз)

И так далее.

Формально определение $A$ даётся следующей схемой:
$A(0,x,y) = x+y$
$A(z+1,x,0) = \mathrm{sgn}(z)$
$A(z+1,x,y+1) = A(z, x, A(z+1,x,y))$

Числовые действия могут быть заданы и в таком виде:
(например, Р.Л. Гудстейн Рекурсивный математический анализ. М., Наука,1970 стр.97)
$x+0=x$
$x+(y+1)=(x+y)+1$
$0*x=0$
$(y+1)*x=(y*x)+x$
$x^0=1$
$x^(^y^+^1)=(x^y)*x$

Названные вами операции, как мне кажется, в силу этих определений числовыми действиями не являются.

[Echo-Off]

Ну если под числовыми действиями понимать функцию Аккермана, то их будет $\aleph_0$

[shust]

Echo-Off писал(а):

Ну если под числовыми действиями понимать функцию Аккермана, то их будет $\aleph_0$

Ничего не имею против. Яуже писал об этом варианте в своем сообщении от Пн Дек 24, 2007 21:58:07 :
"Вы фактически определили числовые действия с количеством их, эквивалентным множеству натуральных чисел. Для экономии не стал включать этот вариант в опрос, хотя можно было бы."

[RIP]

shust писал(а):

Для экономии не стал включать этот вариант в опрос,

Так Вы ж его вроде включили, только под названием

Цитата:

Столько, сколько имеется целых чисел

[Yarkin]

shust писал(а):

Народ! Что вы на Теореме Ферма зациклились, тем более она, кажется, уже доказана.

Надо провести опрос.

shust писал(а):

сколько существует числовых действий?

Правильно было-бы спросить - сколько действий мы используем и числовые ли они. Действие - это абстрактное (математическое) описание взаимодействия двух или более тел (моделей). Описать все их виды невозможно.

Someone писал(а):

сослался на статью об арифметических действиях, среди которых - деление, которое, естественно, разрывно и не всюду определено.

Раньше проблемы непрерывности не было. Она возникает из сформулированных правил действий. Согласно первому закону Ньютона, ничто (нуль) на тело никаких изменений оказать не может. Это всегда можно проверить на опыте.

[shust]

Yarkin писал(а):

shust писал(а):

Народ! Что вы на Теореме Ферма зациклились, тем более она, кажется, уже доказана.
Надо провести опрос.

Вперед! Что мешает?
Проявите инициативу.

Добавлено спустя 31 минуту 2 секунды:

RIP писал(а):

shust писал(а):

Для экономии не стал включать этот вариант в опрос,

Так Вы ж его вроде включили, только под названием

Цитата:

Столько, сколько имеется целых чисел

Пункт опроса "Столько, сколько имеется целых чисел"
предполагает, что параметр $z$, фигурирующий в определение последовательности функций
$A(z,x,y)$ может принимать не только положительные значения и нуль, но и отрицательные.
Согласитесь, что множество целых чисел не одно и тоже , что множество неотрицательных, хотя в теоретико-множественном смысле они действительно эквивалентны.

[RIP]

shust писал(а):

Согласитесь, что множество целых чисел не одно и тоже , что множество неотрицательных,

Соглашусь. Но

shust писал(а):

в теоретико-множественном смысле они действительно эквивалентны

, т.е. неотрицательных целых столько же, сколько целых, а в опросе и сформулировано

shust писал(а):

Столько, сколько имеется целых чисел

(ни слова ни про какие параметризации), уж простите за буквожорство. Люблю я иногда придираться по мелочам, хлебом меня не корми

[shust]

RIP писал(а):

Люблю я иногда придираться по мелочам, хлебом меня не корми Twisted Evil

Замечание принимаю.

Но, в опросе не хотел вводить никакую, как вы говорите, параметризацию, чтобы не ограничивать выбор. Довольно сложно было при этом условии сформулировать четвертый пункт опроса.

Дополнительно, с точки зрения терминологии под числовыми действиями я понимаю общее название четырех арифметических действий и их расширений, отличая числовые действия от произвольных числовых операций.

[luitzen]

Оказывается, что у $A(3, x, y)$ есть собственное имя. Она так и называется — четвертование .

Интересно, а можно ли как-нибудь продолжить $A(z,x,y)$ на отрицательные $z$ ?