2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 17:03 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Здравствуйте, разбираюсь с числовыми последовательностями, есть несколько вопросов, буду признателен за помощь.

Цитата:
Если каждому натуральному числу $n$ поставлено в соответствие число $x_n$, то говорят, что задана числовая последовательность $$ x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots \; . $$ Обозначение $\{ x_n \}$ или $\{ x_n \}_{n=1}^\infty$. При этом $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$ называют членами последовательности.

Вопрос №1.
Можно ли сказать, что числовая последовательность есть функция отображение из $\mathbb N$ в $\mathbb R$?
$$\{ x_n \}_{n=1}^\infty : \mathbb N \to \mathbb R$$
Вопрос №2.
Является ли числовая последовательность упорядоченным множеством?
$$\{ x_n \}_{n=1}^\infty = (x_1; x_2; \ldots; x_n; \ldots)$$
Вопрос №2.1.
Если является, то не корректнее ли обозначение $(x_n)_{n=1}^\infty$?
Вопрос №3.
Можно ли задавать последовательности из конечного числа элементов?
$$ \{ x_n \}_{n=k_1}^{k_2} $$
Например: $ \{ x_n \}_{n=1}^{9} $, $\{ x_n \}_{n=9}^{1}$ (в обратную сторону), $\{ x_n \}_{n=-10}^{10}$ (распространить на $\mathbb Z$).

Простите, перепутал ветку форума. Уважаемый модератор, пожалуйста, переместите тему в Помогите решить / разобраться (М)

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Вопрос 1. Да
Вопрос 2. Что есть "упорядоченное множество"?
Вопрос 3. Можно (см. вопрос 1). Но все же обычно под последовательностью понимают бесконечный набор значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 17:22 
Аватара пользователя


20/06/14
236
provincialka в сообщении #934699 писал(а):
Вопрос 2. Что есть "упорядоченное множество"?

Множество, которое определяется не только своими элементами, но и их порядком в нём; между любыми соседними элементами которого можно поставить один и только один из знаков сравнения: $>, <, =$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 17:33 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Qazed в сообщении #934706 писал(а):
provincialka в сообщении #934699 писал(а):
Вопрос 2. Что есть "упорядоченное множество"?

Множество, которое определяется не только своими элементами, но и их порядком в нём; между любыми соседними элементами которого можно поставить один и только один из знаков сравнения: $>, <, =$.

Упорядоченное множество - это множество с заданным на нем отношением (частичного) порядка. У вас какое-то свое определение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Лучше так и говорить: множество, на котором задан линейный порядок. Такое множество можно назвать последовательностью только если в нем столько же элементов, как и в $\mathbb N$. Например, множество $\mathbb R$ можно линейно упорядочить, но никак нельзя считать последовательностью.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.11.2014, 17:35 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Qazed, создавайте свои темы в разделе "Помогите решить/разобраться". Если Вы не нашли кнопку создания темы - поищите лучше: она там есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 17:47 
Аватара пользователя


20/06/14
236
AV_77 в сообщении #934709 писал(а):
У вас какое-то свое определение?

Это попытка его дать.
provincialka в сообщении #934710 писал(а):
Такое множество можно назвать последовательностью только если в нем столько же элементов, как и в $\mathbb N$.

Т.е. числовая последовательность не является множеством на котором задан линейный порядок?
$$ \{ x_n \}_{n=1}^\infty \ne (x_1; x_2; \ldots; x_n; \ldots) $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Qazed в сообщении #934718 писал(а):
Т.е. числовая последовательность не является множеством на котором задан линейный порядок?
Не совсем множеством. Например, какому множеству соответствует последовательность $1, 1, 1, 1, 1, ...$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 17:59 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Qazed в сообщении #934718 писал(а):
Это попытка его дать.

Вот я и спрашиваю. Вы хотите какое-то свое определение упорядоченного множества дать? Зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 18:06 
Аватара пользователя


20/06/14
236
provincialka в сообщении #934721 писал(а):
Не совсем множеством. Например, какому множеству соответствует последовательность $1, 1, 1, 1, 1, ...$?

Например, множеству $A = (1; 1; 1; 1; 1; \ldots)$?
AV_77 в сообщении #934724 писал(а):
Вы хотите какое-то свое определение упорядоченного множества дать?

Не хочу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Qazed, вы серьезно? Знаете, что такое множество? Каждый его элемент входит в него только один раз. И обозначают множество фигурными скобками, так что $\{1,1,1,1,1,...\}=\{1\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 19:57 
Заслуженный участник


27/06/08
4065
Волгоград
provincialka в сообщении #934710 писал(а):
Лучше так и говорить: множество, на котором задан линейный порядок. Такое множество можно назвать последовательностью только если в нем столько же элементов, как и в $\mathbb N$.
Позволю себе не согласиться.
Вполне возможен вариант, когда во множестве столько же элементов, что и в $\mathbb N$, и на нем задан линейный порядок, но при этом оно не является последовательностью.

А ответ на второй вопрос ТС, разумеется, "да". Более того последовательность является даже вполне упорядоченным множеством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
VAL в сообщении #934785 писал(а):
Вполне возможен вариант, когда во множестве столько же элементов, что и в $\mathbb N$, и на нем задан линейный порядок, но при этом оно не является последовательностью.
Согласна. Не додумала. Что-то такое смутно брезжило в моей голове.
VAL в сообщении #934785 писал(а):
А ответ на второй вопрос ТС, разумеется, "да". Более того последовательность является даже вполне упорядоченным множеством.
Тут надо уточнить, что является элементами этого множества. Например, если последовательность является функцией $x: \mathbb N\to A$, то она задает линейный порядок, но не обязательно на множестве $A$. Потому что члены последовательности могут совпадать.

Можно считать, что последовательность изоморфна некоторому множеству с таким же отношением порядка. Но к чему такие сложности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 20:47 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Последовательность элементов множества $A$ - это отображение $\mathbb{N} \to A$. Отображение - это некоторое подмножество в $\mathbb{N} \times A$ с определенными свойствами. Так что последовательность это некоторое подмножество в $\mathbb{N} \times A$, которое, естественно, можно вполне упорядочить, например, по первой координате.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовые последовательности
Сообщение22.11.2014, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Интересно, читает ли тему ТС? А то получается, мы друг друга уговариваем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group