Числовые последовательности

[Qazed]

Здравствуйте, разбираюсь с числовыми последовательностями, есть несколько вопросов, буду признателен за помощь.

Цитата:

Если каждому натуральному числу $n$ поставлено в соответствие число $x_n$, то говорят, что задана числовая последовательность

$$ x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots \; . $$

Обозначение $\{ x_n \}$ или $\{ x_n \}_{n=1}^\infty$. При этом $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots$ называют членами последовательности.

Вопрос №1.
Можно ли сказать, что числовая последовательность есть функция отображение из $\mathbb N$ в $\mathbb R$?

$$\{ x_n \}_{n=1}^\infty : \mathbb N \to \mathbb R$$

Вопрос №2.
Является ли числовая последовательность упорядоченным множеством?

$$\{ x_n \}_{n=1}^\infty = (x_1; x_2; \ldots; x_n; \ldots)$$

Вопрос №2.1.
Если является, то не корректнее ли обозначение $(x_n)_{n=1}^\infty$?
Вопрос №3.
Можно ли задавать последовательности из конечного числа элементов?

$$ \{ x_n \}_{n=k_1}^{k_2} $$

Например: $ \{ x_n \}_{n=1}^{9} $, $\{ x_n \}_{n=9}^{1}$ (в обратную сторону), $\{ x_n \}_{n=-10}^{10}$ (распространить на $\mathbb Z$).

Простите, перепутал ветку форума. Уважаемый модератор, пожалуйста, переместите тему в Помогите решить / разобраться (М)

[provincialka]

Вопрос 1. Да
Вопрос 2. Что есть "упорядоченное множество"?
Вопрос 3. Можно (см. вопрос 1). Но все же обычно под последовательностью понимают бесконечный набор значений.

[Qazed]

provincialka в сообщении #934699 писал(а):

Вопрос 2. Что есть "упорядоченное множество"?

Множество, которое определяется не только своими элементами, но и их порядком в нём; между любыми соседними элементами которого можно поставить один и только один из знаков сравнения: $>, <, =$.

[AV_77]

Qazed в сообщении #934706 писал(а):

provincialka в сообщении #934699 писал(а):

Вопрос 2. Что есть "упорядоченное множество"?

Множество, которое определяется не только своими элементами, но и их порядком в нём; между любыми соседними элементами которого можно поставить один и только один из знаков сравнения: $>, <, =$.

Упорядоченное множество - это множество с заданным на нем отношением (частичного) порядка. У вас какое-то свое определение?

[provincialka]

Лучше так и говорить: множество, на котором задан линейный порядок. Такое множество можно назвать последовательностью только если в нем столько же элементов, как и в $\mathbb N$. Например, множество $\mathbb R$ можно линейно упорядочить, но никак нельзя считать последовательностью.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Qazed, создавайте свои темы в разделе "Помогите решить/разобраться". Если Вы не нашли кнопку создания темы - поищите лучше: она там есть.

[Qazed]

AV_77 в сообщении #934709 писал(а):

У вас какое-то свое определение?

Это попытка его дать.

provincialka в сообщении #934710 писал(а):

Такое множество можно назвать последовательностью только если в нем столько же элементов, как и в $\mathbb N$.

Т.е. числовая последовательность не является множеством на котором задан линейный порядок?

$$ \{ x_n \}_{n=1}^\infty \ne (x_1; x_2; \ldots; x_n; \ldots) $$

[provincialka]

Qazed в сообщении #934718 писал(а):

Т.е. числовая последовательность не является множеством на котором задан линейный порядок?

Не совсем множеством. Например, какому множеству соответствует последовательность $1, 1, 1, 1, 1, ...$?

[AV_77]

Qazed в сообщении #934718 писал(а):

Это попытка его дать.

Вот я и спрашиваю. Вы хотите какое-то свое определение упорядоченного множества дать? Зачем?

[Qazed]

provincialka в сообщении #934721 писал(а):

Не совсем множеством. Например, какому множеству соответствует последовательность $1, 1, 1, 1, 1, ...$?

Например, множеству $A = (1; 1; 1; 1; 1; \ldots)$?

AV_77 в сообщении #934724 писал(а):

Вы хотите какое-то свое определение упорядоченного множества дать?

Не хочу.

[provincialka]

Qazed, вы серьезно? Знаете, что такое множество? Каждый его элемент входит в него только один раз. И обозначают множество фигурными скобками, так что $\{1,1,1,1,1,...\}=\{1\}$

[VAL]

provincialka в сообщении #934710 писал(а):

Лучше так и говорить: множество, на котором задан линейный порядок. Такое множество можно назвать последовательностью только если в нем столько же элементов, как и в $\mathbb N$.

Позволю себе не согласиться.
Вполне возможен вариант, когда во множестве столько же элементов, что и в $\mathbb N$, и на нем задан линейный порядок, но при этом оно не является последовательностью.

А ответ на второй вопрос ТС, разумеется, "да". Более того последовательность является даже вполне упорядоченным множеством.

[provincialka]

VAL в сообщении #934785 писал(а):

Вполне возможен вариант, когда во множестве столько же элементов, что и в $\mathbb N$, и на нем задан линейный порядок, но при этом оно не является последовательностью.

Согласна. Не додумала. Что-то такое смутно брезжило в моей голове.

VAL в сообщении #934785 писал(а):

А ответ на второй вопрос ТС, разумеется, "да". Более того последовательность является даже вполне упорядоченным множеством.

Тут надо уточнить, что является элементами этого множества. Например, если последовательность является функцией $x: \mathbb N\to A$, то она задает линейный порядок, но не обязательно на множестве $A$. Потому что члены последовательности могут совпадать.

Можно считать, что последовательность изоморфна некоторому множеству с таким же отношением порядка. Но к чему такие сложности?

[AV_77]

Последовательность элементов множества $A$ - это отображение $\mathbb{N} \to A$. Отображение - это некоторое подмножество в $\mathbb{N} \times A$ с определенными свойствами. Так что последовательность это некоторое подмножество в $\mathbb{N} \times A$, которое, естественно, можно вполне упорядочить, например, по первой координате.

[provincialka]

Интересно, читает ли тему ТС? А то получается, мы друг друга уговариваем.