Собственно известно, что аналитического решения задачи трёх взаимодействующих тел не существует,
Это еще смотря как взаимодействующих.

Но будем считать, что все поняли, что Вы имели в виду.
Правда, и в этом случае существует. Оно непредставимо в элементарных функциях и практически совершенно бесполезно, но все же имеется.
значит ли это, что в двух полностью и по всем параметрам идентичных лабораториях, при абсолютно одинаковых стартовых условиях, траектории движения тел в одной лаборатории станут отличаться от траекторий движения тел в другой лаборатории?
Нет, не значит. Более того, от существования (или отсутствия) аналитического решения этот ответ не зависит.