оценить время падения тела с орбиты Луны

[Sergiy_psm]

Встретил задачку: оценить время падения с нулевой начальной скоростью тела с высоты, равной радиусу орбиты Луны. Интересно, у кого какие результаты получатся. Вопрос - именно оценить! Известен лишь период вращения 27,3 сут.

[Someone]

С помощью третьего закона Кеплера.

[Sergiy_psm]

Узнаем расстояние, а дальше беремся за интеграл?

[Someone]

А где в третьем законе Кеплера интеграл?

[Sergiy_psm]

Там только расстояние, а где время, за которое тело пройдет это расстояние?

[Someone]

Как это - "только расстояние"? Сформулируйте третий закон Кеплера.

[Sergiy_psm]

Из закона по периоду можно определить полуось (сам закон: Третий закон Кеплера. Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит.
).
Но нужно найти не период, не полуось, а время падения тела с расстояния, равному радиусу орбиты. Тело не будет спутником, т.к. у него только радиальная скорость, это значит что оно будет падать на центр. Это время нужно оценить! Оно будет, несомненно, пропорционально периоду обращения, вот вся соль в коэфициенте пропорциональности, как его оценить!

[Someone]

Ну, первоначальную орбиту Луны можно считать почти точной окружностью. А после остановки эта орбита превратится в "сплющенный" (до отрезка) эллипс, и нужно найти половину нового периода... А почему половину? И какая у него большая полуось?

[Sergiy_psm]

Хорошая идея! Половину, потому что только в одну сторону. Центр тяготения в фокусе, значит новая большая полуось остается равна радиусу орбиты Луны. По вашему выходит коэфициент 1/4.

[Someone]

Sergiy_psm писал(а):

Хорошая идея! Половину, потому что только в одну сторону. Центр тяготения в фокусе, значит новая большая полуось остается равна радиусу орбиты Луны. По вашему выходит коэфициент 1/4.

А что такое полуось и чем она отличается от целой оси? И где у "сплющенного" эллипса фокусы?

"По-моему", коэффициент не $\frac 14$.

[Zai]

Sergiy_psm писал(а):

Встретил задачку: оценить время падения с нулевой начальной скоростью тела с высоты, равной радиусу орбиты Луны.

$t=\frac {\pi} 2 \frac {r_m} {r_e} \sqrt {\frac {r_m} {2g}}= 4.839суток.
$g=9.822 \frac m {sec^2}
$r_m=384000 km
$r_e=6378.1 km

[Sergiy_psm]

Someone писал(а):

А что такое полуось и чем она отличается от целой оси? И где у "сплющенного" эллипса фокусы?

Я так думаю, у сплющенного фокус должен находиться на конце отрезка, или я ошибаюсь?
Тогда получается:
$ \frac{{a^3 }} {{T^2 }} = \frac{{(a/2)^3 }} {{T'^2 }} $

откуда:

$ t = \frac{{T'}} {2} = \frac{T} {{2\sqrt 8 }} $
t=4.82 как у Zai

[Someone]

Да, верно.

[Sergiy_psm]

Zai писал(а):

Sergiy_psm писал(а):

Встретил задачку: оценить время падения с нулевой начальной скоростью тела с высоты, равной радиусу орбиты Луны.

$t=\frac {\pi} 2 \frac {r_m} {r_e} \sqrt {\frac {r_m} {2g}}= 4.839суток.
$g=9.822 \frac m {sec^2}
$r_m=384000 km
$r_e=6378.1 km

Как получили?

[Zai]

Sergiy_psm писал(а):

Как получили?

Решил уравнение
$ \ddot r=-g \frac {{r_e} ^2} {{r} ^2}
При начальных условиях:
$r(0)=r_m
$ \dot r(0)=0