Доказать равномерную сходимость ряда

[Limit79]

Otta в сообщении #933197 писал(а):

Ну и напишите, что это значит.

Есть еще такой вариант

$$u_n(x) \underset{E} \rightrightarrows 0$$

Правда я не знаю, что это значит.

-- 19.11.2014, 04:58 --

Otta в сообщении #933203 писал(а):

каково условие равномерной сходимости последовательности

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sup_{x \in E} (f_{n}(x) - f(x)) = 0$$

Кстати, это вроде ровно то, что написано выше.

[Otta]

Откуда Вы все это переписываете?

Limit79 в сообщении #933204 писал(а):

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sup_{x \in E} (f_{n}(x) - f(x)) = 0$$

Модуль разности тут.

Limit79 в сообщении #933204 писал(а):

Правда я не знаю, что это значит.

Очень мило с Вашей стороны )) это означает равномерную сходимость последовательности к нулю на множестве $E$. Стандартное обозначение.

[Limit79]

Otta в сообщении #933206 писал(а):

Откуда Вы все это переписываете?

Первое из Кудрявцева.

Во втором модуль был, но я про него забыл.

Otta в сообщении #933206 писал(а):

Очень мило с Вашей стороны ))

Я криво изъясняюсь, простите, я имел ввиду то, что я не понимаю символы, которые в той формуле, а именно две стрелки.

-- 19.11.2014, 05:10 --

В общем, насколько я понял, для того чтобы проверить необходимое условие равномерной сходимости на множестве $E= \mathbb R$, мне нужно вычислить предел

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f(x)|$$

где

$$f_{n}(x) = \frac{(-1)^{n-1}}{(1+x^2)^n}$$

а где $f(x)$ - функция, к которой сходится ряд, то есть мне нужно ее явно выписать?

-- 19.11.2014, 05:18 --

$$f(x) = S(x) = \frac{\frac{1}{x^2+1}}{1+\frac{1}{x^2+1}} = \frac{1}{x^2+2}$$

-- 19.11.2014, 05:20 --

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f(x)| = \lim\limits_{n \to \infty} \sup_{x \in E} \left |\frac{(-1)^{n-1}}{(1+x^2)^n} - \frac{1}{x^2+2} \right |$$

[demolishka]

Утверждение

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sup\limits_E |f_{n}(x) - f(x)| = 0$$

короче записывается как

$$f_n(x) \underset{E} \rightrightarrows f(x)$$

У вас же должно выполняться:

$$u_k(x) \underset{E} \rightrightarrows 0$$

Советов в теме достаточно для того, чтобы делать выводы о том, где равномерной сходимости нет, а где стоит ее поискать.

[Limit79]

demolishka
То есть мне нужно найти предел

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sup_{x \in E} |u_{n}(x) - 0| = \lim\limits_{n \to \infty} \sup_{x \in E} \left |\frac{(-1)^{n-1}}{(1+x^2)^n} \right | = \lim\limits_{n \to \infty} \sup_{x \in E} \left ( \frac{1}{(1+x^2)^n} \right )$$

?

А

$$\sup_{x \in E} \left ( \frac{1}{(1+x^2)^n} \right ) = 1$$

И данный предел будет равен единице, что значит, что на множестве $\mathbb R$ ряд не сходится равномерно?

[Limit79]

И еще вопрос: если множество $E=[1;2]$, то:

$$\left | \frac{(-1)^{n-1}}{(x^2+1)^n} \right | \leqslant \frac{1}{2^n}$$

И, по признаку Вейерштрасса, из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ следует равномерная сходимость исходного ряда на $E=[1;2]$.

Это так?

[demolishka]

Limit79 в сообщении #933345 писал(а):

Это так?

Это так, но равномерная сходимость будет не только на этом множестве. Вот обобщите эту идею.

[Limit79]

demolishka
Множество $E=[1;+\infty)$, тогда:

$$\left | \frac{(-1)^{n-1}}{(x^2+1)^n} \right | \leqslant \frac{1}{2^n}$$

И, по признаку Вейерштрасса, из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ следует равномерная сходимость исходного ряда на $E=[1;+\infty)$.

?

[demolishka]

А на множестве $[\frac12;+\infty)$ что будет?

[Limit79]

demolishka
Тоже будет равномерная сходимость, так как на $E = [ \frac{1}{2} ; +\infty)$

$$\left | \frac{(-1)^{n-1}}{(x^2+1)^n} \right | \leqslant \left ( \frac{4}{5} \right)^n$$

-- 19.11.2014, 16:14 --

Равномерная сходимость будет и на $E=(0; +\infty)$, так как на этом множестве общий член можно оценить сходящейся геометрической прогрессией, вот только не понятно какой конкретно.

[demolishka]

Limit79 в сообщении #933350 писал(а):

Тоже будет равномерная сходимость, так как на $E = [ \frac{1}{2} ; +\infty)$

И на $E = [ \frac{1}{5} ; +\infty)$ и на $E = [ \frac{\sin(e)}{200} ; +\infty)$. Мы так с вами до вечера не переберем.

Limit79 в сообщении #933350 писал(а):

Равномерная сходимость будет и на $E=(0; +\infty)$, так как на этом множестве общий член можно оценить сходящейся геометрической прогрессией, вот только не понятно какой конкретно.

Вы только что выше показали что это не так, потому что не выполняется необходимое условие равномерной сходимости.

[Limit79]

А, ну в принципе, при $x > 0$ будет $x^2+1>1$, и знаменатель геометрической прогрессии будет $|q|<1$ и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(x^2+1)^n}$ сходится, отсюда и будет равномерная сходимость на $(0;+\infty)$.

-- 19.11.2014, 16:21 --

demolishka в сообщении #933354 писал(а):

Вы только что выше показали что это не так, потому что не выполняется необходимое условие равномерной сходимости.

Но ведь ноль не включен?

[provincialka]

Limit79 в сообщении #933356 писал(а):

Но ведь ноль не включен?

Зато к нему можно подобраться сколь угодно близко.

[ИСН]

Limit79 в сообщении #933356 писал(а):

отсюда и будет равномерная сходимость на $(0;+\infty)$.

-- менее минуты назад --

ИСН в сообщении #933148 писал(а):

Начиная с какого номера, каждое слагаемое будет равномерно ограничено по модулю величиной 0.1?

[Limit79]

provincialka в сообщении #933357 писал(а):

Зато к нему можно подобраться сколь угодно близко.

Тогда, наверное, $[a;+\infty)$, где $a>0$.