Вырожденность уровней энергии в одномерном случае

[propagator]

Я, наверное, не понимаю сноску в параграфе 21 ЛЛ3. Пусть $U(x)=-U(x)$. Тогда меняя в ур. Шредингера знак $x$ один раз получаем $\psi(-x) = c \psi(x)$, а меняя два раза получаем $\psi(x) = c^2 \psi(x)$ и $c = \pm 1$. Т.е. в.ф. либо четные, либо нечетные. В сноске говорится (далее идет почти цитата), что в этих рассуждениях предполагается, что состояние не вырождено. В противном случае, при изменении знака $x$ две волновые функции, относящиеся к данному уровню энергии, могут преобразовываться друг через друга. (И что? Теперь нельзя сказать, что $\psi(x) = c \psi(-x) = c^2 \psi(x)$? Почему?) Однако в этом случае волновые функции стационарных состояний хотя и не обязательно четны или нечетны, но всегда могут быть сделаны таковыми (путем выбора соответствующих линейных комбинаций исходных функций). (Что значит не обязательно, но всегда можно? Т.е. они намекают, что вывод выше вроде как и не работает, но результат (то, что функции можно сделать четными ли нечетными) справедлив?)

Как вообще не гадая по аналогии с одной ямой о том, в какой из трех ям что должно быть получить основное состояние? Можно ли его получить из граничных условий на стенках (дают условия на $k$) и $k^2 =2mE/\hbar^2$?

[Red_Herring]

Тоже мне, бином Ньютона. Все это хорошо известно.

Если мы рассматриваем ператор Шредингера на $\mathbb{R}$, то все с.з. простые, что следует из элементарной теории ОДУ без всяких расчетов.

С другой стороны, анализ propagator справедлив, но выводы он делает абсолютно неверные. Когда одинаковые потенциальные ямы достаточно глубокие и расстояния между ними достаточно большие, все с.з. разбиваются на кластеры по $n$ ($n$—число ям), состоящие из с.з. примерно равных с.з. оператора Шредингера для одной такой ямы (и в пределе—но только в пределе!—они сливаются. Расстояния между этими с.з. экспоненциально малы по "естественному" параметру). И есть много работ посвященных расщеплению уровней энергии—особенно для двух симметричных ям (причем там и многомерный случай проанализирован). Там действительно с.ф. разбиваются на пары—четные и нечетные и с.з. для нечетных чуть выше чем с.з. для парных им четных.

[propagator]

Red_Herring в сообщении #932777 писал(а):

И есть много работ посвященных расщеплению уровней энергии—особенно для двух симметричных ям (причем там и многомерный случай проанализирован). Там действительно с.ф. разбиваются на пары—четные и нечетные и с.з. для нечетных чуть выше чем с.з. для парных им четных.

можно одну-две ссылки на эти работы?

я пока подумаю над тем, что Вы сказали.

[Red_Herring]

propagator в сообщении #932784 писал(а):

можно одну-две ссылки на эти работы?

Простых ссылок дать не могу (я знаю лишь работы по многомерному случаю, но они для специалистов). Советую самому посчитать модельный случай: потенциал равен $0$ на $(-c,-a)$ и $(a,c)$ ($c>a$ какой понравится) и равен $b>0$ во всех остальных точках. Там "естественный параметр" $ab$. В более общем случае он $\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{V(x)-E}\,dx$ где $x_1$ и $x_2$ - правая точка левой ямы и левая правой ямы, в которых $V(x)=E$. В многомерном же случае там будет расстояние между ямами в соответствующей метрике.

При большем числе ям внутри тесных кластеров могут возникать гораздо тесные группы (и т.д., и это нетривиальный анализ) но качественная картина не меняется

[propagator]

Red_Herring в сообщении #932797 писал(а):

Простых ссылок дать не могу (я знаю лишь работы по многомерному случаю, но они для специалистов).

Простых не надо, дайте те, которые есть. Спасибо.

-- 18.11.2014, 01:43 --

Red_Herring в сообщении #932777 писал(а):

С другой стороны, анализ propagator справедлив, но выводы он делает абсолютно неверные. Когда одинаковые потенциальные ямы достаточно глубокие и расстояния между ними достаточно большие, все с.з. разбиваются на кластеры по $n$ ($n$—число ям), состоящие из с.з. примерно равных с.з. оператора Шредингера для одной такой ямы (и в пределе—но только в пределе!—они сливаются. Расстояния между этими с.з. экспоненциально малы по "естественному" параметру).

я, кстати, выводов никаких не делал , скорее, вопросы задавал, можно ли эти в.ф., имеющие примерно равные квадраты модулей, считать формально вырожденными.

[Red_Herring]

propagator в сообщении #932799 писал(а):

Простых не надо, дайте те, которые есть. Спасибо.

Helffer, B. and Sjöstrand, J.
Multiple wells in the semiclassic limit I.
Commun. Part. Diff. Eq. 9(4):337--408 (1984).

и ссылки там. К сожалению, доступ не открытый

[propagator]

Red_Herring в сообщении #932803 писал(а):

Helffer, B. and Sjöstrand, J.
Multiple wells in the semiclassic limit I.
Commun. Part. Diff. Eq. 9(4):337--408 (1984).
и ссылки там. К сожалению, доступ не открытый

"semi-calssical" только

спасибо. у меня доступ с работы есть.

Если кто-то будет искать, то DOI: 10.1080/03605308408820335

[Red_Herring]

propagator в сообщении #932809 писал(а):

"semi-calssical" только

Ну разумеется: вопрос о расщеплении стоит только когда барьер между ямами достаточно высок и расстояния достаточно высоки т.е. классическая частица перейти из ямы в яму не может

[propagator]

Red_Herring, Вы не поняли. У Вас очепятка была: вместо semiclassic нужно semi-calssical