n-параметрическое семейство

[Mikhail Sokolov]

Существует ли осмысленное определение понятия $n$-параметрического семейства (скажем, семейства функций)? Интуитивно-то вроде бы ясно, что это такое, но есть несколько вопросов.

Так пусть $F(P)=\left\{ f_p(x),p\in P\right\}$ - некоторое семейство функций, где $P$ - множество параметров (подмножество евклидова пространства).
На первый взгляд естественно назвать семейство $F(P)$ $n$-параметрическим, если множество $P$ имеет топологическую размерность $n$. Например, если $P$ - это отрезок, то $F(P)$ - однопараметрическое семейство, если $P$ - прямоугольник (декартово произведение двух отрезков), то $F(P)$ - двухпараметрическое семейство и т.д.

Однако, ясно, что множество параметров определено с точностью до биекции. И, как известно, существует биекция прямоугольника на отрезок. Следовательно, возможна ситуация, когда $F(P)$ - однопараметрическое семейство, $F'(P')$ - двухпараметрическое семейство, но $F(P)\equiv F'(P')$.

И получается, что понятие одно-, двух-,... параметрического семейства не имеет смысла, а единственным индикатором у семейства $F(P)$ может быть только мощность множества $P$.

Проясните, пожалуйста, ситуацию.

[Профессор Снэйп]

Если накладывать на функцию $f_p(x)$ некоторые дополнительные условия (скажем, непрерывность по обоим аргументам), то понятие получается более содержательным. Тут уже и о количестве параметров имеет смысл говорить.

[bot]

Хм, мне так кажется, что это понятие не совсем формальное - это во-первых, а во-вторых, если попытаться определить это формально на $\mathbb{R}^n$, то в понятие n-параметрического семейства нужно включить независимость выбора этих параметров друг от друга. Всякое уравнение связи (достаточно хорошее) отнимает одну из степеней свободы этого выбора. Если подмножество $P$ открыто в $\mathbb{R}^n$ или хотя бы содержит открытое подмножество, то можно говорить об n-параметрическом семействе, а иначе об этом говорить не приходится. Отрезок задаётся n-1 очень хорошими уравнениями.

Добавлено спустя 39 секунд:

А ежели речь пойдёт вообще не о числовых множествах?
Впрочем, не видел или помню, чтобы в таком случае этот термин употреблялся. В любом случае мощность здесь совсем не при делах.

[PAV]

В общем, до тех пор, пока не указана математическая теорема, в которой содержательным образом это значение $n$ используется, то это понятие является не строго математическим, а скорее интуитивно-наглядном (в частности, при абсолютно формальном изложении теории оно может быть опущено без потери каких-либо результатов). Как только же в какой-то теории это число будет существенно фигурировать, то, разумеется, в ней оно должно быть абсолютно строго и однозначно определено.

[Mikhail Sokolov]

Профессор Снэйп
Да, в этом случае множество $P$ естественно определить с точностью до гомеоморфизма. При гомеоморфизме вроде и размерность множества сохраняется (?). То есть определение корректно.

bot
Народ все же пытается как-то формализовать понятие $n$-параметрического семейства. Например, где-то видел такое определение (для очень частного случая): семейство $F(P)$ возрастающих биекций интервала $I$ на себя называется $n$-параметрическим, если для любых $x_1<...<x_n$ и $y_1<...<y_n$ из $I$ существует единственная функция $f\in F(P)$, такая, что $f(x_i)=y_i$, $i=1,...,n$.

Наличие зависимости между параметрами в некоторых случаях, мне кажется, не страшно. Например, если ограничиться множествами $P$, гомеоморфными декартовым произведениям интервалов. Соответственно, мы можем считать семейство $n$-параметрическим, если оно гомеоморфно декартовомы произведению $n$ невырожденных интервалов.

Добавлено спустя 16 минут 44 секунды:

PAV
Примером такой теоремы является результат из теории измерений о классификации возможных групп возрастающих биекций интервала на себя. Там используется определение, приведенное выше, и показано, что возможные значения для $n$ это 0, 1, 2 и $\infty$.

Может быть существуют еще какие-нибудь подходы к определению понятия $n$-параметрического семейства?

[незваный гость]

Mikhail Sokolov писал(а):

На первый взгляд естественно назвать семейство $F(P)$ $n$-параметрическим, если множество $P$ имеет топологическую размерность $n$.

Всё гораздо проще: никакого отношения к структуре пространства $P$ аддичность параметров не имеет. $n$-параметрическое семейство — это отображение $P_1 \times P_2 \times … \times P_n \to F$, где $F$ — некоторое множество функций (произвольной природы). При этом никаких ограничений на $P_i$ не накладывается: в тривиальном случае это может быть одноэлементное множество.

Формально, мы можем рассматривать это отображение и как однопараметрическое, с параметром $(p_1,… p_n)$. Это ничего не добавляет к нашему пониманию свойств семейства функций.

[Mikhail Sokolov]

незваный гость
Все правильно. Но для некоторых задача важно знать, насколько "богато" множество $P_1\times ...\times P_n$, много ли там элементов. Отсюда и желание приплести сюда понятие размерности, мощности и т.п.

[незваный гость]

Mikhail Sokolov писал(а):

Но для некоторых задача важно знать, насколько "богато" множество $P_1\times ...\times P_n$, много ли там элементов.

Mikhail Sokolov писал(а):

Примером такой теоремы является результат из теории измерений о классификации возможных групп возрастающих биекций интервала на себя. Там используется определение, приведенное выше, и показано, что возможные значения для $n$ это 0, 1, 2 и $\infty$.

Логично и понятно. Но Вы несколько противоречите себе: богатство множества $P_1\times ...\times P_n$ не зависит от его описания. В частности, становится непонятным Ввш вопрос:

Mikhail Sokolov писал(а):

Однако, ясно, что множество параметров определено с точностью до биекции. И, как известно, существует биекция прямоугольника на отрезок. Следовательно, возможна ситуация, когда $F(P)$ - однопараметрическое семейство, $F'(P')$ - двухпараметрическое семейство, но $F(P)\equiv F'(P')$.

Чтобы чуть-чуть прояснить: ситуацию $F_{\bar{v}}(x)$ — семейство функций, параметризованное вектором $\bar{v}$. От того, что мы распишем это семейство покомпонентно $F_{v_1,v_2,v_3}(X)$, свойства не изменятся. А вот если мы сумеем найти гладкую биекцию $t \in {\mathbb R}, \ t \to \bar{v}(t)$, мы (может быть) сможем делать какие-то выводы о структуре семейства. Используя свойства образа $\bar{v}({\mathbb R})$