НИЗОП

[hamiltonvas]

Встретился следующий НИЗОП:

$$I(\alpha) = \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha}$$

Заменой $x^\alpha = tg^2(t)$ интеграл сводится к $\frac{2}{\alpha} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^\frac{2-\alpha}{\alpha}(t) cos^\frac{\alpha-2}{\alpha}dt = \frac{1}{\alpha} \cdot B(\frac{1}{\alpha}, 1 - \frac{1}{\alpha}}) = \frac{1}{\alpha} \cdot \Gamma(\frac{1}{\alpha}) \cdot \Gamma(1-\frac{1}{\alpha}) = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{\pi}{sin(\frac{\pi}{\alpha})}$
Возник вопрос, а можно ли взять интеграл аналитически если нижний предел отличен от 0?)
(То есть такой интеграл:

$$\int\limits_{c}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha}$$

[ewert]

hamiltonvas в сообщении #932534 писал(а):

Возник вопрос, а можно ли взять интеграл аналитически если нижний предел отличен от 0?)

Ну Вы же сами практически на этот вопрос и ответили: вылезет неполная бета-функция. Можно ли выразить её аналитически, если и с полной-то некоторые проблемы?...

Гораздо интереснее другой вопрос: кто такой НИЗОП?

[provincialka]

ewert в сообщении #932545 писал(а):

Гораздо интереснее другой вопрос: кто такой НИЗОП?

Если не "Наиболее Изощренный Звук Отвлекающий Преподавателя", то, видимо, "Несобственный интеграл, зависящий от параметра".

[hamiltonvas]

Да, provincialka угадала)

$$\int\limits_{c}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha} = \frac{2}{\alpha}\int\limits_{\arctg c^\frac{\alpha}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} sin^\frac{2-\alpha}{\alpha}(t) \cdot cos^\frac{\alpha-2}{\alpha}(t)dt$$

Разложим на два интеграла:

$$ \int\limits_{c}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha} = \frac{2}{\alpha} \cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^\frac{2-\alpha}{\alpha}(t) \cdot cos^\frac{\alpha-2}{\alpha}(t)dt - \frac{2}{\alpha} \int\limits_{0}^{\arctg c^\frac{\alpha}{2}}} sin^\frac{2-\alpha}{\alpha}(t) \cdot cos^\frac{\alpha-2}{\alpha}(t) dt $$

ewert, правильно понимаю?

$$ \int\limits_{c}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha} = \frac{1}{\alpha} \cdot B(\frac{1}{\alpha}, 1- \frac{1}{\alpha}) - \frac{1}{\alpha} \cdot B_\arctg c^\frac{\alpha}{2}} (\frac{1}{\alpha}, 1- \frac{1}{\alpha})$$

И все, с этой красотой дальше уже ничего сделать нельзя?

[Алексей К.]

hamiltonvas в сообщении #932591 писал(а):

И все, с этой красотой дальше уже ничего сделать нельзя?

Можно:

$$B\color{magenta}\left({\color{black}\frac{1}{\alpha}, 1- \frac{1}{\alpha}}\right)$$

Так гораздо красивше.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #932603 писал(а):

Можно:

$$B\color{magenta}\left({\color{black}\frac{1}{\alpha}, 1- \frac{1}{\alpha}}\right)$$

И не только это; это лишь половина правды.

(hamiltonvas, Алексей К. намекает, что вопрос празден)