2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 НИЗОП
Сообщение17.11.2014, 19:22 
Встретился следующий НИЗОП:
$$I(\alpha) = \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha}$$
Заменой $x^\alpha = tg^2(t)$ интеграл сводится к $\frac{2}{\alpha} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}  sin^\frac{2-\alpha}{\alpha}(t) cos^\frac{\alpha-2}{\alpha}dt = \frac{1}{\alpha} \cdot B(\frac{1}{\alpha}, 1 - \frac{1}{\alpha}}) = \frac{1}{\alpha} \cdot \Gamma(\frac{1}{\alpha}) \cdot \Gamma(1-\frac{1}{\alpha}) = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{\pi}{sin(\frac{\pi}{\alpha})}$
Возник вопрос, а можно ли взять интеграл аналитически если нижний предел отличен от 0?)
(То есть такой интеграл: $$\int\limits_{c}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha}$$

 
 
 
 Re: НИЗОП
Сообщение17.11.2014, 19:42 
hamiltonvas в сообщении #932534 писал(а):
Возник вопрос, а можно ли взять интеграл аналитически если нижний предел отличен от 0?)

Ну Вы же сами практически на этот вопрос и ответили: вылезет неполная бета-функция. Можно ли выразить её аналитически, если и с полной-то некоторые проблемы?...

Гораздо интереснее другой вопрос: кто такой НИЗОП?

 
 
 
 Re: НИЗОП
Сообщение17.11.2014, 19:44 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #932545 писал(а):
Гораздо интереснее другой вопрос: кто такой НИЗОП?
Если не "Наиболее Изощренный Звук Отвлекающий Преподавателя", то, видимо, "Несобственный интеграл, зависящий от параметра".

 
 
 
 Re: НИЗОП
Сообщение17.11.2014, 22:06 
Да, provincialka угадала)
$$\int\limits_{c}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha} = \frac{2}{\alpha}\int\limits_{\arctg c^\frac{\alpha}{2}}}^{\frac{\pi}{2}} sin^\frac{2-\alpha}{\alpha}(t) \cdot cos^\frac{\alpha-2}{\alpha}(t)dt$$
Разложим на два интеграла:
$$ \int\limits_{c}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha} = \frac{2}{\alpha} \cdot \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^\frac{2-\alpha}{\alpha}(t) \cdot cos^\frac{\alpha-2}{\alpha}(t)dt - \frac{2}{\alpha} \int\limits_{0}^{\arctg c^\frac{\alpha}{2}}} sin^\frac{2-\alpha}{\alpha}(t) \cdot cos^\frac{\alpha-2}{\alpha}(t) dt $$
ewert, правильно понимаю?
$$ \int\limits_{c}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^\alpha} = \frac{1}{\alpha} \cdot B(\frac{1}{\alpha}, 1- \frac{1}{\alpha}) - \frac{1}{\alpha} \cdot B_\arctg c^\frac{\alpha}{2}} (\frac{1}{\alpha}, 1- \frac{1}{\alpha})$$
И все, с этой красотой дальше уже ничего сделать нельзя?

 
 
 
 Re: НИЗОП
Сообщение17.11.2014, 22:17 
hamiltonvas в сообщении #932591 писал(а):
И все, с этой красотой дальше уже ничего сделать нельзя?
Можно:$$B\color{magenta}\left({\color{black}\frac{1}{\alpha}, 1- \frac{1}{\alpha}}\right)$$Так гораздо красивше.

 
 
 
 Re: НИЗОП
Сообщение17.11.2014, 22:22 
Алексей К. в сообщении #932603 писал(а):
Можно:$$B\color{magenta}\left({\color{black}\frac{1}{\alpha}, 1- \frac{1}{\alpha}}\right)$$

И не только это; это лишь половина правды.

(hamiltonvas, Алексей К. намекает, что вопрос празден)

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group