Не понимаю ДУ высшего порядка.

[lorovsky_anonymous]

$$y^4-y^3y''=1$$

Начальные условия:

$$y\Bigr\rvert_{x=0}=\sqrt{2};\quad y'\Bigr\rvert_{x=0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

(1)




С учётом начальных условий:

$$y'=\sqrt{y^2-2+\frac{1}{y^2}}$$

или:

$$y'=\left|y-\frac{1}{y}\right|$$

Далее разветвляемся:


1) $y>\frac{1}{y}$ --- это у нас по начальным условиям (1).

Учитывая эти условия получаем:

$$y=\sqrt{1+e^{2x}}$$

2) $y<\frac{1}{y}$.

Получаем:

$$C\sqrt{y^2-1}=e^{-x}$$

Вроде как ветка начальным условиям не соответствует и дальше не
пойдёшь. Но если мы вообще не должны рассматривать эту ветку, то
почему? Ведь рассматривается множество $y$, значений которых может
принимать и функция дающая начальные условия (1).

[Slow]

В какой области $\sqrt{1+e^{2x}}$ является решением уравнения?

[lorovsky_anonymous]

$$y<\frac{1}{y}\, или \quad y \in [\,-1;\,0\,) \cup [1;\,+\infty)$$

Функция вроде при $\forall x \in {\mathbb R}$ больше единицы. Поэтому
решением является при $x \in (\, -\infty;\,+\infty\,)$. Что-то не так?

-- 18.11.2014, 01:08 --

Кажется я понял - рассматривая условия $y<\frac{1}{y}$ и получив
функцию мы должны указать множество на котором это условие имеет
место. Начальные условия по любому не будут им соответствовать. В
задаче надо сконцентрироваться на начальных условиях и быстро
предложить эффективное решение - вполне возможно вторую ветку можно не
рассматривать. Смотря какое задание.

Хотя если первые ветки не покрыли область действительных чисел для x
и, наверно, также будет верно рассмотреть другие ветки и, определив
функцию на других областях, составить условную функцию. Вроде она
тоже будет решением, в том числе и частным.

[lorovsky_anonymous]

Ой ошибся. Круглые скобки там:

$$y \in (\,-1;0\,) \cup (\,1;+\infty\,)$$

[Slow]

Сколько решений может иметь эта задача Коши?

[ewert]

lorovsky_anonymous в сообщении #932523 писал(а):

Ой ошибся. Круглые скобки там:

$$y \in (\,-1;0\,) \cup (\,1;+\infty\,)$$

Вы не в скобках ошиблись. А в том, что вообще начали выписывать какие-то там промежутки. Надо же было, да -- всего лишь проверить знаки. После чего откровенно негодные ветки немедленно и с негодованием отринуть.