2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Не понимаю ДУ высшего порядка.
Сообщение17.11.2014, 01:01 
Аватара пользователя
$$y^4-y^3y''=1$$


Начальные условия:



$$y\Bigr\rvert_{x=0}=\sqrt{2};\quad y'\Bigr\rvert_{x=0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ (1)




С учётом начальных условий:

$$y'=\sqrt{y^2-2+\frac{1}{y^2}}$$

или:

$$y'=\left|y-\frac{1}{y}\right|$$

Далее разветвляемся:


1) $y>\frac{1}{y}$ --- это у нас по начальным условиям (1).

Учитывая эти условия получаем:

$$y=\sqrt{1+e^{2x}}$$


2) $y<\frac{1}{y}$.

Получаем:

$$C\sqrt{y^2-1}=e^{-x}$$

Вроде как ветка начальным условиям не соответствует и дальше не
пойдёшь. Но если мы вообще не должны рассматривать эту ветку, то
почему? Ведь рассматривается множество $y$, значений которых может
принимать и функция дающая начальные условия (1).

 
 
 
 Re: Не понимаю ДУ высшего порядка.
Сообщение17.11.2014, 14:12 
В какой области $\sqrt{1+e^{2x}}$ является решением уравнения?

 
 
 
 Re: Не понимаю ДУ высшего порядка.
Сообщение17.11.2014, 15:09 
Аватара пользователя
$$y<\frac{1}{y}\, или \quad y \in [\,-1;\,0\,) \cup [1;\,+\infty)$$

Функция вроде при $\forall x \in {\mathbb R}$ больше единицы. Поэтому
решением является при $x \in (\, -\infty;\,+\infty\,)$. Что-то не так?

-- 18.11.2014, 01:08 --

Кажется я понял - рассматривая условия $y<\frac{1}{y}$ и получив
функцию мы должны указать множество на котором это условие имеет
место. Начальные условия по любому не будут им соответствовать. В
задаче надо сконцентрироваться на начальных условиях и быстро
предложить эффективное решение - вполне возможно вторую ветку можно не
рассматривать. Смотря какое задание.

Хотя если первые ветки не покрыли область действительных чисел для x
и, наверно, также будет верно рассмотреть другие ветки и, определив
функцию на других областях, составить условную функцию. Вроде она
тоже будет решением, в том числе и частным.

 
 
 
 Re: Не понимаю ДУ высшего порядка.
Сообщение17.11.2014, 18:48 
Аватара пользователя
Ой ошибся. Круглые скобки там:

$$y \in (\,-1;0\,) \cup (\,1;+\infty\,)$$

 
 
 
 Re: Не понимаю ДУ высшего порядка.
Сообщение17.11.2014, 20:53 
Сколько решений может иметь эта задача Коши?

 
 
 
 Re: Не понимаю ДУ высшего порядка.
Сообщение17.11.2014, 22:32 
lorovsky_anonymous в сообщении #932523 писал(а):
Ой ошибся. Круглые скобки там:
$$y \in (\,-1;0\,) \cup (\,1;+\infty\,)$$

Вы не в скобках ошиблись. А в том, что вообще начали выписывать какие-то там промежутки. Надо же было, да -- всего лишь проверить знаки. После чего откровенно негодные ветки немедленно и с негодованием отринуть.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group