Как доказать ограниченность?

[nokados]

Помогите, пожалуйста, доказать ограниченность последовательности и найти точные верхнюю и нижнюю грани.
$x_n = \frac{\ln^2(n+1)-\ln(n+1) - 29}{-n^2 - 38}$

Я не представляю, как это сделать.
Да, понятно, что для ограниченности нужно показать 2 числа, которые будут больше и меньше (соотв.) любого члена последовательности.
Но я не знаю как это сделать.
По идее нужно найти какие-то более простые последовательности, одна из которых всегда меньше, а другая всегда больше этой последовательности и доказать их ограниченность.
Но тогда какие?

[ИСН]

Начнём с более простого: что бы Вы делали с последовательностью $\ln(n+1)\over n$?

[nokados]

Она больше, чем 0. Так как $n+1>1$ и $n>0$.
Также она меньше 1, так как n растет быстрее, чем $\ln(n)$. Как это доказать не знаю.
$\inf = 0; \sup = \ln(2);$ Так как монотонна убывает. Или нет?
И как все д-ть?

[ИСН]

nokados в сообщении #932232 писал(а):

Также она меньше 1, так как n растет быстрее, чем \ln(n). Как это доказать не знаю.

Вот, вот. Найдите, как. Это самое важное здесь и вообще.

[provincialka]

nokados, вы производную уже проходили?

[ewert]

Толку-то с этой производной -- шибко уж уравнение трансцедентным выйдет. Да и не должны её к этому моменту ещё проходить. Да и не нужна она: надо просто найти, начиная с какого номера будет заведомо выполняться $|a_{n+1}|<|a_n|$; получится что-то типа $n>{\mathrm const}\cdot\ln n$, хотя с оценками придётся малость повозиться. Ну а дальше -- тупой перебор до тех пор, пока последнее неравенство не начнёт выполняться; а иначе, увы, никак.

[provincialka]

ewert, про производную я говорила в связи с примером

ИСН в сообщении #932117 писал(а):

Начнём с более простого: что бы Вы делали с последовательностью $\ln(n+1)\over n$?

. Чтобы получить общее представление.

[ewert]

Проблема в том, что ничего особенно полезного применительно к исходной задаче этот наводящий пример не даст. А так -- перебрал несколько сотен начальных эн, и дело в шляпе. И кто только подобные задачки сочиняет?...