2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как доказать ограниченность?
Сообщение17.11.2014, 00:32 
Помогите, пожалуйста, доказать ограниченность последовательности и найти точные верхнюю и нижнюю грани.
$x_n = \frac{\ln^2(n+1)-\ln(n+1) - 29}{-n^2 - 38}$

Я не представляю, как это сделать.
Да, понятно, что для ограниченности нужно показать 2 числа, которые будут больше и меньше (соотв.) любого члена последовательности.
Но я не знаю как это сделать.
По идее нужно найти какие-то более простые последовательности, одна из которых всегда меньше, а другая всегда больше этой последовательности и доказать их ограниченность.
Но тогда какие?

 
 
 
 Re: Как доказать ограниченность?
Сообщение17.11.2014, 00:38 
Аватара пользователя
Начнём с более простого: что бы Вы делали с последовательностью $\ln(n+1)\over n$?

 
 
 
 Re: Как доказать ограниченность?
Сообщение17.11.2014, 10:43 
Она больше, чем 0. Так как $n+1>1$ и $n>0$.
Также она меньше 1, так как n растет быстрее, чем $\ln(n)$. Как это доказать не знаю.
$\inf = 0; \sup = \ln(2);$ Так как монотонна убывает. Или нет?
И как все д-ть?

 
 
 
 Re: Как доказать ограниченность?
Сообщение17.11.2014, 11:00 
Аватара пользователя
nokados в сообщении #932232 писал(а):
Также она меньше 1, так как n растет быстрее, чем \ln(n). Как это доказать не знаю.

Вот, вот. Найдите, как. Это самое важное здесь и вообще.

 
 
 
 Re: Как доказать ограниченность?
Сообщение17.11.2014, 14:04 
Аватара пользователя
nokados, вы производную уже проходили?

 
 
 
 Re: Как доказать ограниченность?
Сообщение17.11.2014, 19:32 
Толку-то с этой производной -- шибко уж уравнение трансцедентным выйдет. Да и не должны её к этому моменту ещё проходить. Да и не нужна она: надо просто найти, начиная с какого номера будет заведомо выполняться $|a_{n+1}|<|a_n|$; получится что-то типа $n>{\mathrm const}\cdot\ln n$, хотя с оценками придётся малость повозиться. Ну а дальше -- тупой перебор до тех пор, пока последнее неравенство не начнёт выполняться; а иначе, увы, никак.

 
 
 
 Re: Как доказать ограниченность?
Сообщение17.11.2014, 19:38 
Аватара пользователя
ewert, про производную я говорила в связи с примером
ИСН в сообщении #932117 писал(а):
Начнём с более простого: что бы Вы делали с последовательностью $\ln(n+1)\over n$?
. Чтобы получить общее представление.

 
 
 
 Re: Как доказать ограниченность?
Сообщение17.11.2014, 19:54 
Проблема в том, что ничего особенно полезного применительно к исходной задаче этот наводящий пример не даст. А так -- перебрал несколько сотен начальных эн, и дело в шляпе. И кто только подобные задачки сочиняет?...

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group