О существовании предельной меры (слабая сходимость)

[Iam]

У меня задача с необходимостью ответа на формулируемые ниже вопросы.
Пусть $Z $ – компакт, $M$ – множество вероятностных мер на борелевской алгебре подмножеств $ Z$, $ q: Z \to \mathbb{R} $ – измеримая ограниченная функция, множество точек разрыва которой $ I \subset Z$ имеет лебегову меру 0; $Q$ – заданный на $M$ функционал вида:
$Q(\mu)=E_{\mu}[q(z)]$ ($E $ – знак математического ожидания) и для некоторой последовательности $ \mu_1$, $ \mu_2$,… ($\mu_i \in M)$

$$ \lim_{n \to \infty } E_{\mu_n}[ q(z)] = Q^0. $$

При этом известно, что всюду в $Z \setminus I$ последовательность $\mu_i$ сходится к мере $\mu^0$, которая непрерывна в этой области.
Представляется, что меру $\mu^0$ можно продолжить на все множество $Z$, полагая $\mu^0(z)=0$ для всех $z \in Z$.
Поскольку при этом в силу непрерывности $\mu^0$ выполняется $E_{\mu^0}[q(z)]=Q^0$, то таким образом может быть установлено существование меры $\mu^0$, к которой слабо сходится последовательность $\mu_i$.
Верны ли эти рассуждения? Если да, то проходят ли они для более общего случая (например, только ограниченность и сепарабельность $Z$)?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1. Проследите за тем, чтобы каждая формула была заключена в знаки долларов внутри тегов math.

2. Предел: \lim
Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[--mS--]

До этого всё было понятно, а дальше - ничего:

Iam в сообщении #925141 писал(а):

При этом известно, что всюду в $Z \setminus I$ последовательность $\mu_i$ сходится к мере $\mu^0$, которая непрерывна в этой области.

1) Что значит "меры сходятся всюду в $Z \setminus I$"? На любом борелевском подмножестве этого множества или что?
2) Что значит "мера непрерывна в области"? Вероятностная мера любая непрерывна, вряд ли Вы это имели в виду.

Iam в сообщении #925141 писал(а):

Представляется, что меру $\mu^0$ можно продолжить на все множество $Z$, полагая $\mu^0(z)=0$ для всех $z \in Z$.

3) Что значит "продолжить на $Z$"? Она как бы на $\mathfrak B(Z)$, а не на $Z$.
4) Что есть $\mu^0(z)$?

Iam в сообщении #925141 писал(а):

Поскольку при этом в силу непрерывности $\mu^0$ выполняется $E_{\mu^0}[q(z)]=Q^0$, то таким образом может быть установлено существование меры $\mu^0$, к которой слабо сходится последовательность $\mu_i$.

5) Как связаны непрерывность $\mu^0$ и равенство $E_{\mu^0}[q(z)]=Q^0$?
6) Разве $\mu^0$ у Вас не по условию существует? Можете сформулировать утверждение, которое хотите доказать?

[Iam]

Спасибо за внимание к моим вопросам, которые, как я понимаю, оказались "несколько" сумбурны. Но мне нужно с этим разобраться и, конечно, нужно корректно изложить задачу, которая проистекает из теоретико-игровой (ТИ) модели и которую я пытаюсь сформулировать в терминах сходимости вероятностных мер.
В ТИ задаче (антагонистическая игра) множества стратегий $X$, $Y$ компактны, а функция $q(x,y)$ может иметь разрывы первого рода. Можно установить, что в игре $G=(X,Y,q)$ при определенных конструкциях $q()$ нет чистых равновесных стратегий, однако смешанное расширение $ G^-=(M_X, M_Y,Q)$ имеет значение $Q^0$. Мне нужно установить факт существования равновесной ситуации в $G^-$. "Идея" состояла в следующем. Сначала исключить из $ Z=X \times Y$ ситуации (множество $I$), где $q(z)$ имеет разрыв, и построить равновесную (предельную) меру $\mu^0 $ на множестве $Z \setminus I $, а затем продолжить ее на точки разрыва $I$, положив в них $\mu^0(z) =0$.
При этом получим, что $Q(\mu)=Q^0$, т. е. для построенной меры достигается предельное значение функционала: $ \lim_{i \to \infty} Q(\mu_i)=Q^0=Q(\mu^0) $.

Далее по вопросам.
По 1, 2. Здесь я попытался отметить такое условие: последовательность $ \mu_i $ сходится к некоторой мере $\mu^0$, которая не сосредотачивает вероятности в точках (т. е. непрерывна).
По 3. Здесь я вижу проблему. Если исключить точки разрыва, то $\mathfrak B(Z \setminus I )$ обладает другими свойствами и вопрос о сходимости остается для меня неясным.
По 4. Мера $\mu^0$ эта как раз та, к которой должна сходиться последовательность $\mu_i$ в $\mathfrak B(Z \setminus I )$ (хотелось бы).
По 5. В силу непрерывности меры $\mu^0$ значение функционала $Q(\mu^0)$ не изменится, если в этих точках положить любые (нуль или конечные) значения меры. Чтобы сохранить непрерывность, я положил значения 0. Конечно, это будет уже другая мера, ее можно обозначить, например, $\mu^{00}$
По 6. Вот, сделана еще одна попытка.

[--mS--]

Спасибо за попытку, но яснее, что дано и что нужно, мне пока не стало.

Вот кусочек стандартной теоремы (теорема 5.2 гл. 1 параграф 5 Биллингсли). Пусть $Z$ - произвольное метрическое пространство, $\mu_n$ и $\mu^0$ - вероятностные меры на $\mathfrak B(Z)$. Слабая сходимость $\mu_n \Rightarrow \mu^0$ (определение которой тут не важно) равносильна (например, теорема 2.1) тому, что $\mu_n(A) \to \mu^0(A)$ для всякого $A$ такого, что $\mu^0(\delta A)=0$. Здесь $\delta A$ - граница множества $A$.

Теорема 5.2: если $\mu_n \Rightarrow \mu^0$, то для любой ограниченной измеримой функции $g: Z\to \mathbb R$ такой, что $\mu^0(I)=0$, где $I$ - множество точек разрыва $g$, выполнено

$$Q(\mu_n)=\int_S g \,d\mu_n \to \int_S g\,d\mu^0 = Q(\mu^0).$$

Правильно ли я понимаю, что имеются вероятностные меры $\mu_n$ на $\mathfrak B(Z)$, а $\mu^0$ на $\mathfrak B(Z\setminus I)$, такие, что $\mu_n(A) \to \mu^0(A)$ для всех $A\in \mathfrak B(Z\setminus I)$?
Тогда мера $\mu^{00}(B)=\mu^0(B\setminus I)$, $B\in\mathfrak B(Z)$ (т.е. такая, что на всём множестве $I$ мы её доопределили нулём) будет пределом $\mu_n(B)$ для всех $B\in\mathfrak B(Z)$.
Действительно,

$$\mu_n(B)=\mu_n(B\setminus I)+\mu_n(B\cap I).$$

Первое слагаемое сходится к $\mu^0(B\setminus I)=\mu^{00}(B)$, второе не превосходит $\mu_n(I)=1-\mu_n(Z\setminus I)$, а уже эта штуковина сходится к $1-\mu^0(Z\setminus I)=1-1=0$. Тогда по теореме 5.2 есть сходимость мер $\mu_n$ к $\mu^{00}$ на всех борелевских подмножествах $Z$ и матожидания от $q$ тоже сходятся.

Или $\mu^0(Z\setminus I)\neq 1$? Тогда ничего и не будет, в т.ч. и нулём её доопределить на $I$ нельзя - массы не хватит.

[Iam]

Большое спасибо, --ms--, за Ваш труд и обстоятельный ответ по существу вопроса. Чувствую, что подсказанные Вами подходы позволят получить ответ на интересующий меня вопрос, однако, чтобы воплотить эту quasi una fantasia в человеческую мысль, мне придется основательно потрудиться. Поэтому прошу извинить за задержку будущего ответа: она обусловлена потребностью основательно разобраться, да еще предстоит перелет (Лондон-Анталья) со сдвигом по времени, адаптацией и сопутствующими потерями времени. Сейчас не буду Вас беспокоить своими рассуждениями и промежуточными вопросами. Очень благодарен.

[--mS--]

Я поправила чутка своё сообщение - не пропечаталось "a $\mu^0$ - на $\mathfrak B(Z\setminus I)$" (после "Правильно ли ...").

[Iam]

Уважаемая --ms--, I am (i. e. I exist yet). Немного расслабился – был выбит из целенаправленного мыслительного процесса на решение подвернувшейся под руку задачи, а потом ушел в свободное миросозерцание. Возвращаюсь к пониманию задачи по теме.

Сначала сформулирую упрощенный пример исходной задачи. Пусть $ X=[0,1] $, $ Y=[0,1-\delta] $, $ q(x,y)=sign(x-y)-sign(x-y-\delta) $, $ G=<X,Y,q> $ - игра на прямоугольнике $ X \times Y $. При $ 0< \delta < 1/2 $ игра не имеет равновесных ситуаций в чистых стратегиях, поэтому имеет смысл перейти к смешанному расширению игры $ G $, для чего введем в рассмотрение $ M_X, M_Y $ множества всех вероятностных распределений на борелевских алгебрах подмножеств $ X, Y $, соответственно и функционал $ Q=E_{u,v}[q] $, который определяется как среднее величины $ q $ по мерам $ u \in M_X $, $ v \in M_Y $.
Нетрудно установить, что игра $ G^- = < M_X, M_Y, Q > $ (являясь смешанным расширением $ G $), имеет значение – здесь можно использовать стандартные приемы. Можно также установить, что она имеет равновесную ситуацию – вот базовые истоки этого явления хотелось бы выяснить. Более того, есть существенное обобщение игры $ G^- $ с определением $ M_X, M_Y $ как моментных пространств, которое также имеет равновесную ситуацию (см. ниже).
Если переходить к поиску базовых причин, то задача, как я ее понимаю, она очень близка к формулируемой Вами. Однако есть отличия: факт существования предельной меры с заданными свойствами изначально не определен – его нужно установить.

Общая информация:
1) $Z$ - компакт в $ \mathbb{R}^n $;
2) $ \mathbb B(Z)$ - борелевская алгебра подмножеств $ Z $;
3) $ M()$ – слабо компактное выпуклое множество вероятностных мер на $ \mathbb B(Z) $;
4) $ q() $ – измеримая ограниченная функция $ Z \to \mathbb R $;
5) $ I \subset Z $ – множество точек разрыва функции $ q()$;
6) $ Q() : M() \to \mathbb R $ – фунционал вида
$ Q( \mu) = E_{\mu}[q]= \int_Z q(z) \mu(dz); $
7) последовательность мер $ \mu_i, i=1,2,…, $ такая что $ \lim_{i \to \infty} Q( \mu_i)= Q^0. $

Что касается основной исходной информации, то это все. При этом требуется установить факт существования меры $ \mu^0, $ для которой, естественно, $ Q( \mu^0)= Q^0. $

Вместе с тем ясно, что если больше ничего не говорить, то и доказать существование такой меры не получится. Поэтому в разных вариантах я использую дополнительные условия, которые должны обеспечивать нужную сходимость.

Дополнительная информация (простейший случай):
$ \forall z \in I, \varepsilon >0, i \in N \exists e(z, \varepsilon) \subset Z : z \in e(z, \varepsilon) \land \mu_i(e_i(z, \varepsilon))< \varepsilon. $

Здесь отражается, что последовательность $ \mu_i, i=1,2,… $ такова, что значение меры в окрестности любой особой точки исчезает. Это условие должно обеспечить слабую сходимость последовательности $ \mu_i $ к искомой мере $ \mu^0 $, для которой $ Q(\mu^0)=Q^0 $ (думаю, что это известный или очевидный факт). Возможно, оно записано не в лучшем виде, но если заменить это условие на более простое $ \forall z \in Z: \mu_i(z) \to 0, $ то легко найти контрпример.

Возможно, здесь я слишком осторожничаю и можно рассуждать так: $ M()$ – слабо компактно? (Да). Последовательность $ \mu_i $ слабо сходится в $ M()?$ (Да). Пусть она сходится к $ \mu^0. $ Верно ли, что $ \mu^0(I)=0? $ – А как это установить? Если, осуществить регуляризацию функционала $ Q(),$ например, его усреднением по гауссовской мере с $ \sigma \to 0, $ то есть ли гарантия, что в точке $ \sigma = 0 $ не будет разрыва? Если есть, то с учетом теоремы 5.2 $ \mu^0 $ – та самая мера, которая нужна.

Примеры.
1. Пусть $ 0 \in \mathbb{R}^n $ - точка разрыва функции $ q(), z_i \in Z $ – последовательность, стремящаяся к $ 0 $ и $ \mu_i $ – последовательность мер, определенная соотношением:
$ \mu_i(Z^1)=1 $ при $ z_i \in Z^1 $ и $ \mu_i(Z^1)=0 $ – в противном случае.
Это пример последовательности мер $ \mu_i, $ стремящейся к $ \mu^0, $ однако, для которой $ Q(\mu^0) \ne Q^0. $

2. Пусть $ M_X, M_Y $ – множества вероятностных мер $ u(), v(),$ с ограниченными средними: $ E_u[x]=1, $ $ E_v[y]=1-\delta. $ Можно установить, что в игре $ Г=< M_X, M_Y, Q > $ имеется равновесная ситуация. Хотелось бы понять базовые причины этого.

Общий вопрос: При каких дополнительных условиях (по отношению к обшей информации пп. 1-7) обеспечивается существование меры $ \mu^0, $ для которой $ Q(\mu^0)=Q^0? $ В качестве ответа устроили бы достаточные условия, которые включали бы рассмотренные примеры ТИ-задач.

-- 16.11.2014, 17:03 --

Iam в сообщении #931954 писал(а):

...если заменить это условие на более простое $ \forall z \in Z: \mu_i(z) \to 0, $ то легко найти контрпример.

Я погорячился - "контпример" испортился. Возможно, можно использовать упрощенное условие (?)

[--mS--]

Iam в сообщении #931954 писал(а):

Дополнительная информация (простейший случай):
$ \forall z \in I, \varepsilon >0, i \in N \exists e(z, \varepsilon) \subset Z : z \in e(z, \varepsilon) \land \mu_i(e_i(z, \varepsilon))< \varepsilon. $
...
Примеры.
1. Пусть $ 0 \in \mathbb{R}^n $ - точка разрыва функции $ q(), z_i \in Z $ – последовательность, стремящаяся к $ 0 $ и $ \mu_i $ – последовательность мер, определенная соотношением:
$ \mu_i(Z^1)=1 $ при $ z_i \in Z^1 $ и $ \mu_i(Z^1)=0 $ – в противном случае.
Это пример последовательности мер $ \mu_i, $ стремящейся к $ \mu^0, $ однако, для которой $ Q(\mu^0) \ne Q^0. $

В этом примере как раз выполнено условие с "дополнительной информацией". Для каждого эпсилон и любого $i$ интервал вокруг нуля, не содержащий $z_i$, является множеством $\mu_i$-меры нуль.

Iam в сообщении #931954 писал(а):

Возможно, здесь я слишком осторожничаю и можно рассуждать так: $ M()$ – слабо компактно? (Да). Последовательность $ \mu_i $ слабо сходится в $ M()?$ (Да). Пусть она сходится к $ \mu^0. $ Верно ли, что $ \mu^0(I)=0? $

Пример выше и показывает, что последнее неверно. Разве только потребовать, чтобы это дополнительное условие выполнялось равномерно по $i$ начиная с некоторого. Да и то я что-то не уверена, что этого хватит, чтобы $\mu_0(I)=0$. Так, единственное, что спасёт пример - если последовательность $z_i$ будет сходиться не к нулю, а к чему-то иному.

[Iam]

Спасибо, --ms--, за консультации, которые мне очень помогли. Действительно, пример 1 ничего не спасет. К счастью, сходимость в моих ТИ задачах обладает хорошими свойствами. А именно, из постановки можно усмотреть, что оптимальные стратегии игроков не могут одновременно сосредотачивать меру в каких-либо точках $ X$ и $Y$, т. е. должны быть в этом смысле непрерывными. По-видимому, такое стремление к непрерывности можно уловить и в последовательности $\mu_i=u_i v_i $ (приведенная моя «формулировка» дополнительного условия «никуда не годится»). Если это получится, то обращусь к Вам с конкретным вопросом.

PS В ТИ-задаче в моментных пространствах (пример 2) q(x,y)=sign(x-y) – забыл указать.