2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 19:33 
Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):
если открытое множество содержит все рациональные точки, то его дополнение не более чем счетно
Это неверно, пример достаточно простой: пусть $q_k$ — рациональные, $A_k = (q_k - \frac{1}{2^k}, q_k + \frac{1}{2^k})$, $A = \bigcup_k A_k$.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 19:50 
Аватара пользователя
Давайте обозначим множество $A$ в следующем примере через $A^2$, где верхний индекс 2 намекает на двойку в знаменателях для интервалов:
Цитата:
$A_k = (q_k - \frac{1}{2^k}, q_k + \frac{1}{2^k})$, $A = \bigcup_k A_k$.

Построим по аналогии для той же нумерации рациональных чисел множества $A^3, A^4,...$.

Разве счётное пересечение всех этих множеств не противоречит следующему утверждению:
Nemiroff в сообщении #931943 писал(а):
Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):
множество рациональных чисел нельзя представить как счетное пересечение открытых
Это верно.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 19:51 
Nemiroff в сообщении #931945 писал(а):
Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):
если открытое множество содержит все рациональные точки, то его дополнение не более чем счетно
Это неверно, пример достаточно простой: пусть $q_k$ — рациональные, $A_k = (q_k - \frac{1}{2^k}, q_k + \frac{1}{2^k})$, $A = \bigcup_k A_k$.

Это была рабочая гипотеза) с ней уже давно покончено

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 20:27 
Pretty Kitty в сообщении #931944 писал(а):
$G_\delta$ - класс всех множеств, которые можно представить как счетное пересечение открытых

Любое множество на $\mathbb{R}$ можно представить как счетное пересечение открытых.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 20:32 
Аватара пользователя
Evgenjy в сообщении #931974 писал(а):
Любое множество на $\mathbb{R}$ можно представить как счетное пересечение открытых.
Разве? Разве не существует не-борелевских множеств на прямой?

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 20:43 
provincialka в сообщении #931977 писал(а):
Evgenjy в сообщении #931974 писал(а):
Любое множество на $\mathbb{R}$ можно представить как счетное пересечение открытых.
Разве? Разве не существует не-борелевских множеств на прямой?

Я же только что доказал, что рациональные числа не будут счетным пересечением открытых. И не-борелевские тоже должны быть насколько я помню лекцию, хотя примера не знаю.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 20:43 
grizzly в сообщении #931952 писал(а):
Разве счётное пересечение всех этих множеств не противоречит следующему утверждению:
Нет. Пусть $\mathbb{Q} = \bigcap_{i=1}^{\infty} U_i$. Тогда $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \bigcup_{i=1}^{\infty} U_i^c$. У иррациональных пустая внутренность, поэтому у каждого $U_i^c$ пустая внутренность, поэтому каждое из них нигде не плотно, поэтому их объединение — множество первой категории. Иррациональные — множество второй категории, так что получаем противоречие.
Evgenjy в сообщении #931974 писал(а):
Любое множество на $\mathbb{R}$ можно представить как счетное пересечение открытых.
Бред незамутнённый.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 21:17 
Аватара пользователя
Nemiroff
Спасибо! стало понятно и очень интересно.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 21:52 
Аватара пользователя
Nemiroff
А как из
Nemiroff в сообщении #931988 писал(а):
поэтому у каждого $U_i^c$ пустая внутренность

следует
Nemiroff в сообщении #931988 писал(а):
поэтому каждое из них нигде не плотно

?

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 22:00 
kp9r4d, я привык, что это просто определение нигде не плотного множества. А вы каким определением пользуетесь?

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 22:08 
Аватара пользователя
Такого определения здесь, конечно, мало (ср. $\mathbb Q$). Принципиально, наверное, что множества замкнуты.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 22:11 
grizzly в сообщении #932043 писал(а):
Принципиально, наверное, что множества замкнуты.
Да-да, нигде не плотное множество — такое, у которого замыкание имеет пустую внутренность. В данном случае $U_i^c$ замкнуты, так что их замыкание совпадает с ними.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение16.11.2014, 22:19 
Аватара пользователя
Nemiroff
Да, точно.

 
 
 
 Re: Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых
Сообщение17.11.2014, 13:25 
grizzly в сообщении #931952 писал(а):
Построим по аналогии для той же нумерации рациональных чисел множества $A^3, A^4,...$.

Разве счётное пересечение всех этих множеств не противоречит следующему утверждению:
Nemiroff в сообщении #931943

писал(а):
Pretty Kitty в сообщении #931806

писал(а):
множество рациональных чисел нельзя представить как счетное пересечение открытых


Вы Pretty Kitty и grizzly разобрались раньше меня. Я сильно заблуждался, но теперь тоже понял, в чем дело. Получается, что пересечение $A^3, A^4,...$ кроме всех рациональных чисел содержит иррациональные и достаточно много для того, чтобы быть множеством второй категории, но не слишком много и имеет меру ноль. А его дополнение состоит не из всех иррациональных чисел, имеет первую категорию , но мера пересечения с каждым отрезком равна мере самого отрезка.
Спасибо Nemiroff

 
 
 [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group