Множество рациональных чисел не счетное пересечение открытых

[Pretty Kitty]

Подскажите как доказать, что множество рациональных чисел нельзя представить как счетное пересечение открытых, а точнее то, что если открытое множество содержит все рациональные точки, то его дополнение не более чем счетно. Из этого утверждения очевидным образом следует начальное.

[grizzly]

А чем мотивирована такая постановка задачи? не проще ли будет доказывать обратные утверждения?

[Someone]

Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):

если открытое множество содержит все рациональные точки, то его дополнение не более чем счетно

Это неверно.

[Pretty Kitty]

Someone
Ну вот( А можно пример?

Задача мотивирована попыткой доказать то, что функцию Дирихле нельзя представить в виде поточечного предела непрерывных функций.

Еще я не знаю как доказать, что пересечение конечного или счетного числа плотных множеств класса $G_\delta$ в полном метрическом пространстве это плотное множество класса $G_\delta$. Из него бы тоже следовало нужное мне утверждение.

[ИСН]

Pretty Kitty в сообщении #931859 писал(а):

доказать то, что функцию Дирихле нельзя представить в виде поточечного предела непрерывных функций.

Так очевидным образом можно же ж.

[Pretty Kitty]

ИСН в сообщении #931862 писал(а):

Pretty Kitty в сообщении #931859 писал(а):

доказать то, что функцию Дирихле нельзя представить в виде поточечного предела непрерывных функций.

Так очевидным образом можно же ж.

А можно этот очевидный пример?

[ИСН]

Ну, там что-нибудь с $\cos(2\pi x n!)$ в большой степени.

[nnosipov]

ИСН, там двойной предел нужен.

[kp9r4d]

Дополнение до всех иррациональных чисел, цепная дробь которых содержит только $1$ и $2$ (это множество замкнуто).

[ИСН]

nnosipov в сообщении #931901 писал(а):

ИСН, там двойной предел нужен.

Расскажите мне, почему не хватит одинарного.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #931910 писал(а):

Расскажите мне, почему не хватит одинарного.

С детства помню, что это так (вики пишет что-то про категории Бэра; неужто врёт?). Честно говоря, сейчас мне этот сюжет откровенно неинтересен. Предлагаю оставить это молодёжи, пусть сама разбирается.

[Lia]

«функция Дирихле»

xmaister в сообщении #668145 писал(а):

Это не простая задача. Её решение можно найти в книге "Бэр, теория разрывных функций" (начиная со стр. 74). Там доказано, что поточечный предел непрерывных функций не может быть всюду разрывен. См. также "Классы Бэра".

[Evgenjy]

Дополню Someone.

Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):

множество рациональных чисел нельзя представить как счетное пересечение открытых

Это неверно

Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):

если открытое множество содержит все рациональные точки, то его дополнение не более чем счетно

Это неверно.

Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):

Из этого утверждения очевидным образом следует начальное

Только в том смысле, что из неверного утверждения следует все, что угодно.

[Nemiroff]

Pretty Kitty в сообщении #931806 писал(а):

множество рациональных чисел нельзя представить как счетное пересечение открытых

Это верно.

[Pretty Kitty]

Короч, я разобрался.
$G_\delta$ - класс всех множеств, которые можно представить как счетное пересечение открытых. Если $f$ - есть поточечный предел непрерывных функций, то прообраз любого отрезка из $G_\delta$. Если бы Дирихле была представима, то мы имели бы, что и множества рациональных чисел и иррациональных были бы из этого класса. Но по указанному мной выше утверждению их пересечение было бы плотным, что не верно.

Для того, чтобы доказать, что пересечение счетного числа плотных множеств из $G_\delta$ есть плотное множество в полном пространстве, достаточно доказать то же самое для открытых множеств, что просто.