2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Дифференциальное уравнение, неразрешимое относительно произв
Сообщение16.11.2014, 03:21 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Ms-dos4 в сообщении #931592 писал(а):
Однородным к $\[\frac{{dx}}{{dp}} = \frac{{2px + 1}}{{p - {p^2}}}\]$ будет уравнение $\[\frac{{dx}}{{dp}} - \frac{{2px}}{{p - {p^2}}} = 0\]$, но уж никак не то, что записали вы.


Да у меня оно сначала и было. Там надо было просто сократить правую часть на $p$ и получить уравнение с разделенными переменными?
$\frac{dx}{dp}=\frac{2x}{1-p}$
$\frac{dx}{2x}=\frac{dp}{1-p}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение, неразрешимое относительно произв
Сообщение16.11.2014, 03:24 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Ну да. Интегрируйте его и теперь переходите к решению полного уравнения (неоднородного)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение, неразрешимое относительно произв
Сообщение16.11.2014, 13:12 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Вчера еще час мучился с этим уравнением, но не смог решить. Сначала пытался использовать метод Лагранжа:

1. Пусть $x=C(x)\cdot(-2)\ln(1-p)$
$x'=-C'(x)2\ln(1-p)-C(x)\frac{2}{1-p}$
$x'=-C'(x)2\ln(1-p)-C(x)\frac{2}{1-p}-\frac{2pC(x)(-2)\ln(1-p)}{p-p^2}=\frac{1}{p-p^2}$
И я не могу сократить здесь лишние слагаемые с $C(x)$, не вижу, как упростить это выражение. Бросил это дело и попытался решить это уравнение самым простым способом:

2. $\frac{dx}{dp}-\frac{2px}{p-p^2}=\frac{1}{p-p^2}$
Пусть $x=uv, u=u(p), v=v(p)$
$x'=u'v+uv'$
$u'v+uv'-\frac{2p}{p-p^2}uv=\frac{1}{p-p^2}$
$u'v+u(v'-\frac{2p}{p-p^2}v)=\frac{1}{p-p^2}$

Как и в первом способе, решаю такое же уравнение, чтобы найти $v$. Почему-то в этот раз функция оказалась совсем другой:

$v'-\frac{2p}{p-p^2}v=0$
$\frac{dv}{dp}=\frac{2p}{p-p^2}v$
$\frac{dv}{v}=\frac{2}{1-p}dp$
$\ln|v|=-2\ln|1-p|+\ln C$
$\ln|v|=\ln\frac{1}{1-p}$
$v=\frac{1}{1-p}$

Делаю проверку, но оказывается, что все неверно, скобка из того уравнения, которое получилось после замены, не обнуляется.

$(\frac{1}{1-p})'-\frac{2p}{p-p^2}\frac{1}{1-p}=\frac{-1(-p)}{(1-p)^2}-\frac{2p}{p-p^2}\frac{1}{1-p}$
$\frac{p}{(1-p)^2}-\frac{2p}{p-p^2}\cdot\frac{1}{1-p}$
Последнее выражение не обнуляется в мейпле при всех значениях параметра, которые я подставлял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение, неразрешимое относительно произв
Сообщение16.11.2014, 13:14 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Наврато в самой первой строчке. Дальше не стала читать.
Nurzery[Rhymes] в сообщении #931711 писал(а):
1. Пусть $x=C(x)\cdot(-2)\ln(1-p)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение, неразрешимое относительно произв
Сообщение16.11.2014, 13:27 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Ой, почти все было правильно, только $v$ другое:
$\frac{1}{(1-p)^2}$
Тогда скобка обнуляется, и из $u'=\frac{1-p}{p}$ находим $u$:
$u=\ln p - p + C$

А что делать после того, как найдено общее решение в виде $x=uv$? По учебникам надо дать ответ в виде параметрически заданной функции, я нашел $x(p)$, но не вижу, как можно выразить изменение параметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение, неразрешимое относительно произв
Сообщение16.11.2014, 13:31 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А не надо его выражать, если не выражается. Запишите ответ в виде параметрически заданного семейства интегральных кривых ($p$ как раз в роли параметра). $x$ Вы уже нашли, $y$ почти готов к употреблению. Все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение, неразрешимое относительно произв
Сообщение16.11.2014, 13:34 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Otta в сообщении #931717 писал(а):
А не надо его выражать, если не выражается. Запишите ответ в виде параметрически заданного семейства интегральных кривых ($p$ как раз в роли параметра). $x$ Вы уже нашли, $y$ почти готов к употреблению. Все.

То есть в $y=xp^2+p$ подставляем выражение $x=\frac{1}{(1-p)^2}$ и получается так:
$y=\frac{p^2}{(1-p)^2}\cdot(\ln p - p + C)+p$
Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение, неразрешимое относительно произв
Сообщение16.11.2014, 13:37 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А как у Вас, семейство решений состоит из одной кривой? Константу-то куда потеряли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение, неразрешимое относительно произв
Сообщение16.11.2014, 13:49 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Nurzery[Rhymes]
Ну да (вы как я понял сообщение редактировали). Получили решение в параметрическом виде
$\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{C}{{{{(p - 1)}^2}}} + \frac{{\ln p - p}}{{{{(p - 1)}^2}}}\\
y = [\frac{C}{{{{(p - 1)}^2}}} + \frac{{\ln p - p}}{{{{(p - 1)}^2}}}]{p^2} + p
\end{array} \right.\]$
Ну и теперь не забудьте особые решения, о которых я писал выше, т.е. $\[y = 0\]$ и $\[y = x + 1\]$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group