Коэффициенты при асимптотиках волновой функции в ЛЛ

[10110111]

В ЛЛ 3 "Квантовая механика. Нерелятивистская теория." параграфе "Коэффициент прохождения" , рассматривая монотонно возрастающий с 0 при $x\to-\infty$ до $U_0$ при $x\to+\infty$ потенциал, пишут:

Цитата:

В общем случае произвольного стационарного состояния (с энергией $E>U_0$) асимптотический вид волновой функции как при $x\to-\infty$, так и при $x\to+\infty$ представляет собой сумму двух волн, распространяющихся в обе стороны оси $x$:

$$\psi=A_1e^{ik_1x}+B_1e^{-ik_1x}\;\text{при}\;x\to-\infty,$$

$$\psi=A_2e^{ik_2x}+B_2e^{-ik_2x}\;\text{при}\;x\to+\infty.\;\;\;\;(25.5)$$

Поскольку оба эти выражения представляют собой асимптотические формы одного и того же решения линейного дифференциального уравнения, между коэффициентами $A_1,\,B_1$ и $A_2,\,B_2$ существует линейная связь. Пусть $A_2=\alpha A_1+\beta B_1$, где $\alpha,\,\beta$ — постоянные (вообще говоря, комплексные), зависящие от конкретного вида поля $U(x)$. Аналогичное соотношение для $B_2$ можно тогда написать на основании соображений , связанных с вещественностью уравнения Шредингера. В силу последней, если $\psi$ есть решение данного уравнения Шредингера, то и комплексно сопряженная функция $\psi^\ast$ есть решение того же уравнения. Асимптотический вид

$$\psi^\ast=A_1^\ast e^{-ik_1x}+B_1^\ast e^{ik_1x}\text{ при }x\to-\infty,$$

$$\psi^\ast=A_2^\ast e^{-ik_2x}+B_2^\ast e^{ik_2x}\text{ при }x\to+\infty$$

отличается от $(25.5)$ лишь обозначением постоянных коэффициентов; поэтому имеем $B_2^\ast=\alpha B_1^\ast+\beta A_1^\ast$ или $B_2=\alpha^\ast B_1+\beta^\ast A_1$. Таким образом, коэффициенты в $(25.5)$ связаны друг с другом соотношениями вида

$$A_2=\alpha A_1+\beta B_1,\;\;B_2=\beta^\ast A_1+\alpha^\ast B_1.\;\;\;\;(25.6)$$

Чего я тут не понимаю — почему из того, что асимптотика сопряжённой волновой функции формально совпадает с несопряжённой, следует, что коэффициенты будут аналогичны? Ведь в принципе, наше "произвольное стационарное состояние" может быть каким угодно — хоть с $B_2=0$ (в силу вырождения по направлению движения). При этом очевидно, что $(25.6)$ будет абсолютно неверно.
Что имели в виду авторы под "произвольным стационарным состоянием"? Может, состояние, ограниченное каким-то равенством плотностей потока (хотя пока не представляю, каких именно)? Или мои рассуждения ошибочны?

[Munin]

10110111 в сообщении #931374 писал(а):

Чего я тут не понимаю — почему из того, что асимптотика сопряжённой волновой функции формально совпадает с несопряжённой, следует, что коэффициенты будут аналогичны?

Они не аналогичны, они попросту равны. Вторые две формулы - совпадают с первыми двумя, по принципу $A_1^*\leftrightarrow B_1,B_1^*\leftrightarrow A_1,A_2^*\leftrightarrow B_2,B_2^*\leftrightarrow A_2.$ Просто посмотрите на эти формулы.

10110111 в сообщении #931374 писал(а):

Ведь в принципе, наше "произвольное стационарное состояние" может быть каким угодно — хоть с $B_2=0$ (в силу вырождения по направлению движения). При этом очевидно, что $(25.6)$ будет абсолютно неверно.

Нет, почему? (25.6) прекрасно работает для случая $B_2=0.$

10110111 в сообщении #931374 писал(а):

Что имели в виду авторы под "произвольным стационарным состоянием"? Может, состояние, ограниченное каким-то равенством плотностей потока (хотя пока не представляю, каких именно)?

Здесь - просто состояние, удовлетворяющее определению стационарного $\Psi=\psi\cdot e^{-Et/\hbar}.$

--------

Ровно эту тему - советую прочитать дополнительно по Мессиа "Квантовая механика", глава 3 целиком. Очень полезно для эрудиции.

[10110111]

Munin в сообщении #931382 писал(а):

Они не аналогичны, они попросту равны. Вторые две формулы - совпадают с первыми двумя, по принципу $A_1^*\leftrightarrow B_1,B_1^*\leftrightarrow A_1,A_2^*\leftrightarrow B_2,B_2^*\leftrightarrow A_2.$ Просто посмотрите на эти формулы.

Нет, я вижу, что совпадают в этом смысле правые части этих формул. Но ведь если, например, $A_2=A_1-B_1\ne0$, а $B_2=0$, то из $(25.6)$ следует, что $B_2=A_1-B_1\ne0$ — противоречие.

[Munin]

Нет, вы делаете одновременно две вещи: кладёте $B_2=0,$ и фиксируете $\alpha$ и $\beta,$ а так нельзя. Если мы положим $B_2=0,$ то это значит, $B_2=\beta^*A_1+\alpha^*B_1=0,$ и таким образом, $\alpha$ и $\beta$ уже не произвольные, а $\alpha/\beta=-(A_1/B_1)^*.$ И тогда сразу $A_2=N(A_1^*A_1-B_1^*B_1),$ с какой-то нормировкой. Это, конечно, может быть равно $A_1-B_1,$ но не при произвольных $A_1,B_1,$ а при каких-то подобранных (мне лень решать эту систему уравнений, извините).

[Cos(x-pi/2)]

Munin, да. Вы опередили, пока я примерно такой же ответ подготавливал:

10110111
Неправильно распоряжаетесь формулой (25.6) в своих рассуждениях. Вы можете положить $B_2=0$ (это значит, что нет источника частиц далеко справа). И Вы можете произвольно задать коэффициент $A_1$ (его квадрат модуля задаётся "светимостью" источника частиц, находящегося далеко слева).

Всё. После этого нужно трактовать формулы (25.6) как систему уравнений для нахождения амплитуды отражённой налево волны $B_1$ и амплитуды прошедшей направо волны $A_2$. Они выразятся через произвольно заданную вами $A_1$ и через не являющиеся произвольными параметры $\alpha,\,\beta$ — они определяются конкретным видом поля $U(x)$, а также волновыми векторами, т.е. энергией частицы .Т.е. руками полагать $A_2=A_1-B_1$ нельзя.

В общем случае можно задать $A_1$ и $B_2$ совершенно произвольно (они характеризуют "светимость" двух когерентных источников частиц, находящихся далеко слева и далеко справа; считается, что потенциал там ниже уровня энергии частицы). А (25.6) служит системой двух уравнений для нахождения $B_1$ и $A_2$ через параметры рассеивающего потенциала $\alpha$ и $\beta$, и произвольно заданные $A_1$ и $B_2$.

Математически это обусловлено тем, что здесь ур-е Ш. является обыкновенным ДУ второго порядка, линейным и однородным. Известно, что тогда общее решение имеет вид суммы двух частных решений, взятых с произвольными коэффициентами. Поэтому и в асимптотике (25.5) только два коэффициента произвольны. ЛЛ привели рассуждение, показывающее, что два из четырёх асимптотических коэффициентов линейно связаны с другими двумя через некие параметры $\alpha$, $\beta$, зависящие только от вида $U(x)$ в конкретном у. Ш. с заданным значением энергии частицы. Дальше из текста ЛЛ ясно, что через эти же параметры $\alpha$ и $\beta$ выражается вероятность отражения и вероятность прохождения частицы. Эти параметры в (25.6) (или им аналогичные) иногда называют "матрицей переноса".

[10110111]

Спасибо всем, я вроде понял. Остаётся, правда, вопрос: $\alpha$ и $\beta$ для данного поля определены точно или с некоторой степенью произвольности? А то я попробовал определить их из условия $A_1=1, B_2=0$ для задачи о падении частицы на прямоугольный потенциальный барьер (первая задача в этом параграфе) и обнаружил, что два уравнения фактически содержат четыре переменных (реальные и мнимые части $\alpha$ и $\beta$). Правда, из условия реальности реальных и мнимых частей пришлось выбрать конкретные решения, но всегда ли это будет так?

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #931440 писал(а):

Munin, да. Вы опередили, пока я примерно такой же ответ подготавливал

У меня примерно такое ощущение, что можно с форума уходить: вы меня успешно заменяете :-) (иногда более успешно, чем я сам)

-- 16.11.2014 11:47:21 --

10110111 в сообщении #931443 писал(а):

Остаётся, правда, вопрос: $\alpha$ и $\beta$ для данного поля определены точно или с некоторой степенью произвольности?

Кажется, в процитированной формулировке - точно.

Попробуйте почитать Мессиа, всё-таки, там ровно эта задача, в частности, рассматривается.

10110111 в сообщении #931443 писал(а):

Правда, из условия реальности реальных и мнимых частей пришлось выбрать конкретные решения, но всегда ли это будет так?

Я так понимаю, "из условия равенства". Да, это всегда так: одно комплексное уравнение равно двум действительным.

И по-русски не говорят "реальная часть", говорят "действительная часть" (или "вещественная", это дело вкуса).