Сходимость ряда

[Jiggy]

provincialka в сообщении #931301 писал(а):

Будем считать, что $p>0$, так что $1/n^p\to 0$.
Первое, чо бросается в глаза: в одном слагаемом $1/n$, в других - $\frac1{n^p}$. Путаница. Лучше эти слагаемые рассматривать отдельно.
Слагаемое $\cos \frac1n$ стремится к 0 как и $e^{\frac1{n^p}}$. Вычтем эту единицу из каждого. Тогда ряд сожно разбить на два:
$ \sum\limits_{1}^{ \infty }(\cos( \frac{1}{n}) - 1)$ и
$ \sum\limits_{1}^{ \infty }(1 - e^{\frac{1}{n^p} }- \sin( \frac{1}{n^p} ))$
Первый ряд исследуется легко, благо он без параметра. А во втором можно найти главную часть как степень выражения $\frac{1}{n^p}$ и, следовательно, как степень $\frac{1}{n}$

Первый сходится, т.к. $ a(n) = O(1/n^2)$
Второй сходится при p>1, т.к. $a(n) = O(1/n^p)$

[provincialka]

У меня так же получилось. Хотя было бы более интересно, если бы перед синусом стоял плюс. Ну, принципиально нового там ничего не будет.

[Jiggy]

provincialka в сообщении #931308 писал(а):

У меня так же получилось. Хотя было бы более интересно, если бы перед синусом стоял плюс. Ну, принципиально нового там ничего не будет.

Значит при p>1 сходится, иначе расходится. Верно?)

[provincialka]

Вроде верно. Только проверьте случай $p\le 0$

[Otta]

Ага, и расходимость при $p\le 1$ обоснуйте хорошо, придирчивый преподаватель обязательно придерется )), ибо то, что выписано, работает только в одну сторону.