2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение15.11.2014, 15:48 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #931301 писал(а):
Будем считать, что $p>0$, так что $1/n^p\to 0$.
Первое, чо бросается в глаза: в одном слагаемом $1/n$, в других - $\frac1{n^p}$. Путаница. Лучше эти слагаемые рассматривать отдельно.
Слагаемое $\cos \frac1n$ стремится к 0 как и $e^{\frac1{n^p}}$. Вычтем эту единицу из каждого. Тогда ряд сожно разбить на два:
$ \sum\limits_{1}^{ \infty }(\cos( \frac{1}{n}) - 1)$ и
$ \sum\limits_{1}^{ \infty }(1 - e^{\frac{1}{n^p} }- \sin( \frac{1}{n^p} ))$
Первый ряд исследуется легко, благо он без параметра. А во втором можно найти главную часть как степень выражения $\frac{1}{n^p}$ и, следовательно, как степень $\frac{1}{n}$

Первый сходится, т.к. $ a(n) = O(1/n^2)$
Второй сходится при p>1, т.к. $a(n) = O(1/n^p)$

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение15.11.2014, 15:51 
Аватара пользователя
У меня так же получилось. Хотя было бы более интересно, если бы перед синусом стоял плюс. Ну, принципиально нового там ничего не будет.

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение15.11.2014, 16:16 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #931308 писал(а):
У меня так же получилось. Хотя было бы более интересно, если бы перед синусом стоял плюс. Ну, принципиально нового там ничего не будет.

Значит при p>1 сходится, иначе расходится. Верно?)

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение15.11.2014, 18:59 
Аватара пользователя
Вроде верно. Только проверьте случай $p\le 0$

 
 
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение15.11.2014, 19:08 
Ага, и расходимость при $p\le 1$ обоснуйте хорошо, придирчивый преподаватель обязательно придерется )), ибо то, что выписано, работает только в одну сторону.

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group